Μία ιδιότητα της διλογαρίθμου

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\mathrm{Li}_2$ ο διλογάριθμος. Να δειχθεί, χρησιμοποιώντας αποκλειστικά ότι $\displaystyle{\mathrm{Li}_2(z)= -\int_{0}^{z} \frac{\log (1-u)}{u} \, \mathrm{d}u}$ , ότι:

$\displaystyle{\mathrm{Li}_2(z) + \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1}{z} \right ) = -\frac{\pi^2}{6} - \frac{\log^2 (-z)}{2}\;, \; z \notin \left [ 0, +\infty \right )}$

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 10, 2022 9:37 pm
Έστω $\mathrm{Li}_2$ ο διλογάριθμος. Να δειχθεί, χρησιμοποιώντας αποκλειστικά ότι $\displaystyle{\mathrm{Li}_2(z)= -\int_{0}^{z} \frac{\log (1-u)}{u} \, \mathrm{d}u}$ , ότι:

$\displaystyle{\mathrm{Li}_2(z) + \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1}{z} \right ) = -\frac{\pi^2}{6} - \frac{\log^2 (-z)}{2}\;, \; z \notin \left [ 0, +\infty \right )}$

.
Έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {d}{dz} \left ( \mathrm{Li}_2(z) + \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1}{z} \right ) \right ) = \dfrac {d}{dz} \left (-\int_{0}^{z} \frac{\log (1-u)}{u} \, \mathrm{d}u} - \int_{0}^{1/z} \frac{\log (1-u)}{u} \, \mathrm{d}u}\right ) = }$

$\displaystyle{= -\dfrac {\ln (1-z)}{z} - \dfrac {\ln (1-\frac {1}{z})}{\frac {1}{z} }\cdot \dfrac {-1}{z^2} = \dfrac { \ln\dfrac {z-1} {(1-z)z}} {z} = \dfrac {\ln (-z) }{z}}$

Άρα, αφού $\displaystyle{\int \dfrac {\ln t}{t}dt = \frac {1}{2} \ln ^2 t +c}$ , έχουμε

$\displaystyle{\mathrm{Li}_2(z) + \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1}{z} \right ) = -\frac {1}{2} \ln ^2 (-z) +c}$

Θέτοντας z=-1

στην τελευταία, θα βρούμε ότι η σταθερά ικανοποιεί

$\displaystyle{c+0= -2 \int _0^{-1} \dfrac {\ln (1-u)}{u} du = 2 \left (\int _{-1}^0\sum _{n=0}^{\infty } \dfrac {-u^n}{n+1}du \right )=}$

$\displaystyle{=-2\left [ \sum _{n=0}^{\infty } \dfrac {-u^{n+1}}{(n+1)^2} \right ]_{-1}^{0}= 2\left (\sum _{n=0}^{\infty } \dfrac {(-1)^{n+1}}{(n+1)^2} \right )= \dfrac {\pi ^2}{6} }$ , από όπου το ζητούμενο.

Μία ιδιότητα της διλογαρίθμου

Μία ιδιότητα της διλογαρίθμου

Re: Μία ιδιότητα της διλογαρίθμου

Re: Μία ιδιότητα της διλογαρίθμου

Μέλη σε σύνδεση