Μία τιμή της τρίγαμμα

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{16 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left ( 4n+1 \right )^2} = \pi^2 + 8 \mathcal{G}}$
όπου $\mathcal{G}$ η σταθερά Catalan.

Παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθούν έτοιμοι τύποι. Το ιδανικό θα ήταν μόνο με series manipulation.

Tolaso J Kos · #2

Βρήκα λύση ... έπρεπε απλά να ανοίξω τη σειρά και να προσθαφαιρέσω τους όρους που λείπουν. Είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left ( 4n+1 \right )^2} &= 1 + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{13^2} + \cdots \\ &= \frac{1}{2} \bigg[ \left( 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots \right ) + \\ &\quad \quad \quad + \left (1-1 - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{6^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \right ) \bigg]\\ &=\frac{1}{2} \left ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\left ( 2n+1 \right )^2} \right ) \\ &=\frac{1}{2} \left ( \zeta(2) - \frac{\zeta(2)}{4} + \beta(2) \right ) \\ &= \frac{1}{2} \left ( \frac{\pi^2}{8} + \mathcal{G} \right ) \\ &= \frac{\pi^2}{16} + \frac{\mathcal{G}}{2} \end{aligned}}$

Μία τιμή της τρίγαμμα

Μία τιμή της τρίγαμμα

Re: Μία τιμή της τρίγαμμα

Μέλη σε σύνδεση