Του ... χρυσού λόγου

Tolaso J Kos · #1

Έστω

η ακολουθία Fibonacci. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left | \varphi F_n - F_{n+1} \right | = \varphi}$
όπου $\varphi$ ο χρυσός λόγος.

#2

Χρησιμοποιώντας τον τύπο $\displaystyle F_n = \frac{\varphi^n - (-1/\varphi)^n}{\sqrt{5}}$ έχουμε

$\displaystyle \varphi F_n - F_{n+1} = (-1)^{n+1} \frac{\varphi^{-(n-1)} + \varphi^{-(n+1)}}{\sqrt{5}} = (-1)^{n+1} \varphi^{-(n+1)} \frac{\varphi^2+1}{\sqrt{5}}$

Άρα

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | \varphi F_n - F_{n+1}| = \frac{\varphi + 1/\varphi}{\sqrt{5}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\varphi^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\varphi^n} = \frac{1}{\varphi} \cdot \frac{1}{1-1/\varphi} = \varphi$

Του ... χρυσού λόγου

Του ... χρυσού λόγου

Re: Του ... χρυσού λόγου

Μέλη σε σύνδεση