Συνεχής και περιοδική

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{\left| f(x) \right| \leq \frac{1}{1+x^2}}$
Ορίζουμε τη συνάρτηση $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο $\displaystyle{F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f \left ( x + n \right )}$ .

Να δειχθεί ότι:

η είναι συνεχής και περιοδική με περίοδο .
αν η είναι συνεχής και περιοδική με περίοδο τότε

$\displaystyle{\int_{0}^{1} F(x)G(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) G(x) \, \mathrm{d}x }$

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

Tolaso J Kos · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 27, 2020 10:29 am
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{\left| f(x) \right| \leq \frac{1}{1+x^2}}$
Ορίζουμε τη συνάρτηση $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο $\displaystyle{F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f \left ( x + n \right )}$ .

Να δειχθεί ότι:

η είναι συνεχής και περιοδική με περίοδο .

αν η είναι συνεχής και περιοδική με περίοδο τότε

$\displaystyle{\int_{0}^{1} F(x)G(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) G(x) \, \mathrm{d}x }$

Παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{g\left ( x + 1 \right ) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f \left ( n +x +1 \right ) = \sum_{n'=-\infty}^{\infty} f \left ( x + n \right ) = g(x)}$
Καταρχήν , η είναι φραγμένη στο και $\sum \limits_{n=-N}^{N} f (x + n ) \rightarrow F(x)$ ομοιόμορφα. Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) G(x)\, \mathrm{d}x &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{n}^{n+1} f(x) G(x) \, \mathrm{d}x \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{1} f(x + n) G(x)\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{1} F(x) G(x) \, \mathrm{d}x \end{aligned}}$

Συνεχής και περιοδική

Συνεχής και περιοδική

Re: Συνεχής και περιοδική

Re: Συνεχής και περιοδική

Μέλη σε σύνδεση