σ-άλγεβρα του Borel

lefsk · #1

Έστω $\Omega = \mathbb{R}$ και $B_{\mathbb{R}}$ η $\sigma$ -άλγεβρα του Borel. Αν
$\displaystyle{C_{1} = \{ (x,y] : x,y \in \mathbb{R} , x < y \} }$
$\displaystyle{C_{2} = \{ (x,y) : x,y \in \mathbb{R} , x < y \} }$
$\displaystyle{C_{3} = \{ (- \infty , x] : x \in \mathbb{R}} }$
αποδείξτε ότι
$B_{\mathbb{R}} = \sigma (C_{1}) = \sigma (C_{2}) =\sigma (C_{3})$ .

$B_{\mathbb{R}} = \sigma (\{ G \subset \mathbb{R} : G$ ανοιχτό $\})$
$1) \ x<y \Rightarrow (x,y)$ ανοιχτό $\Rightarrow (x,y) \in B_{\mathbb{R}} \Rightarrow \{(x,y) : x<y\} \subset B_{\mathbb{R}} \Rightarrow \sigma ( \{(x,y) : x<y\}) \subset B_{\mathbb{R}}.$

$G \subset \mathbb{R}$ ανοιχτό $\Rightarrow G=\bigcup_{n=1}^{\infty} (a_{n}, b_{n}) \in \sigma ( \{(x,y) : x < y\}) \Rightarrow \{G \subset \mathbb{R} : G$ ανοιχτό $\} \subset \sigma (\{(x,y) : x< y\}) \Rightarrow B_{\mathbb{R}} \subset \sigma (\{(x,y) : x< y\}).$
Άρα ισχύει η ισότητα.

Είμαι σωστός μέχρι τώρα; Και αν ναι, τότε θα συνεχίσω με παρόμοιο τρόπο;
Δηλαδή:

$2) \ x<y \Rightarrow (x,y] = \bigcap_{n=1}^{\infty} (x,y+\frac{1}{n}) \in B_{\mathbb{R}} \Rightarrow ...$

$3) x \in \mathbb{R} \Rightarrow (-\infty, x] = \bigcap_{n=1}^{\infty} (- \infty ,x+\frac{1}{n}) \in B_{\mathbb{R}} \Rightarrow ...$

#2

Όλα σωστά αλλά ας προσθέσω ότι υπάρχουν ως θεωρία σε όλες ανεξαιρέτως τις Θεωρίες Μέτρου. Ορθότατα θεωρούνται άμεσα, σχεδόν προφανή, από όλους τους συγγραφείς ή διδάσκοντες.

lefsk · #3

Σας ευχαριστώ πολύ! Με την ευκαιρία, έχετε να μου προτείνετε κάποιο συγκεκριμένο σύγγραμμα ή pdf paper που αφορά τη θεωρία μέτρου;

#4

lefsk έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 20, 2020 9:57 pm
Σας ευχαριστώ πολύ! Με την ευκαιρία, έχετε να μου προτείνετε κάποιο συγκεκριμένο σύγγραμμα ή pdf paper που αφορά τη θεωρία μέτρου;

Όλα τα κυκλοφορούντα βιβλία Θεωρίας Μέτρου (με τίτλους όπως Measure Theory ή Real Analysis ή Theory of Integration) είναι καλά.

Ένα στάνταρ και προσιτό είναι του Royden εδώ. Καλό επίσης, για πρώτο διάβασμα, το Bartle, Elements of Integration.

lefsk · #5

Ευχαριστώ πολύ! Καλό σας βράδυ!

σ-άλγεβρα του Borel

σ-άλγεβρα του Borel

Re: σ-άλγεβρα του Borel

Re: σ-άλγεβρα του Borel

Re: σ-άλγεβρα του Borel

Re: σ-άλγεβρα του Borel

Μέλη σε σύνδεση