Ολοκλήρωμα με Γ

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac {\mathrm{d}x} {\Gamma(\alpha+x)\Gamma(\beta-x)}=\frac{2^{\alpha+\beta-2}}{\Gamma(\alpha+\beta-1)}$ όταν $\mathfrak{Re}(\alpha + \beta) >1$ .

Tolaso J Kos · #2

Θα αποδείξουμε το γενικότερο:

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{inx}}{\Gamma(a+x) \Gamma \left ( \beta - x \right )}\, \mathrm{d}x = \frac{\left ( 2 \cos \frac{n}{2} \right )^{a+\beta-2}}{\Gamma\left ( a + \beta -1 \right )} e^{in \left ( \beta - a \right )/2}}$
Καταρχάς, παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{1}{\Gamma\left ( a+x \right ) \Gamma \left ( \beta - x \right )} &= \frac{1}{\left ( a+x-1 \right )! \left ( \beta-x-1 \right )!} \\ &=\frac{1}{\Gamma \left ( a + \beta - 1 \right )} \frac{\left ( a + \beta-2 \right )!}{\left ( a + x -1 \right )! \left ( \beta - x -1 \right )!} \\ &=\frac{1}{\Gamma \left ( a + \beta - 1 \right )} \binom{a + \beta - 2}{a + x -1} \end{aligned}}$
Συνεπώς,

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{inx}}{\Gamma\left ( a+x \right ) \Gamma \left ( \beta - x \right )} \, \mathrm{d}x= \frac{1}{\Gamma \left ( a + \beta - 1 \right )} \int_{-\infty}^{\infty} \binom{a+\beta-2}{a+x-1} e^{inx} \, \mathrm{d}x}$
Λήμμα: Έστω $\gamma$ οποιαδήποτε κυκλική περιφέρεια. Τότε $\displaystyle{\binom{n}{k} = \frac{1}{2\pi i } \oint \limits_{\gamma} \frac{\left ( 1+z \right )^n}{z^{k+1}} \, \mathrm{d}z}$ .

Απόδειξη: Η μιγαδική συνάρτηση $\displaystyle f(z) = \frac{(1+z)^n}{z^{k+1}}$ είναι μερόμορφη στο $\mathbb{C}$ και ο μοναδικός της πόλος είναι ο z_0=0

τάξης

. Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathfrak{Res}\left ( f;0 \right ) &= \frac{1}{k!} \lim_{z\rightarrow 0} \left ( z^{k+1} f(z) \right )^{(k)} \\ &=\frac{1}{k!} \lim_{z\rightarrow 0} \left ( \left ( 1+z \right )^n \right )^{(k)} \\ &=\frac{n \left ( n-1 \right ) \cdots \left ( n-k+1 \right )}{k!} \\ &= \binom{n}{k} \end{aligned}}$
Εφαρμόζοντας το λήμμα έχουμε για το θέμα μας:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \binom{a+\beta-2}{a+x-1} e^{inx} \, \mathrm{d}x &= \int_{-\infty}^{\infty} \left ( \oint \limits_{\left | z \right |=1} \frac{\left ( 1+z \right )^{a+\beta-2}}{z^{a+x}} \frac{\mathrm{d}z}{2\pi i} \right ) e^{inx} \, \mathrm{d}x \\ &=-i \oint \limits_{\left | z \right |=1} \frac{\left ( 1+z \right )^{a+\beta-2}}{z^{a}} \left ( \int_{-\infty}^{\infty} e^{i \left ( n -\arg z \right )x} \, \frac{\mathrm{d}x}{2\pi} \right )\, \mathrm{d}z \\ &= -i \oint \limits_{\left | z \right |=1} \frac{\left ( 1+z \right )^{a+\beta-2}}{z^{a}} \, \delta \left ( n - \arg z \right ) \, \mathrm{d}z \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{z=e^{i \theta} \; , \, \left | \theta \right |<\pi}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!=\!} -i \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\left ( 1+e^{i \theta} \right )^{a + \beta-2}}{e^{ia \theta}} \; \delta \left ( n - \theta \right ) e^{i \theta} i \, \mathrm{d} \theta \\ &= \left ( 1 + e^{in} \right )^{a + \beta -2} e^{i \left ( 1-a \right )n} \\ &= \left ( 2 \cos \frac{n}{2} \right )^{a + \beta -2} e^{in \left ( \beta - a \right )/2} \end{aligned}}$

Ολοκλήρωμα με Γ

Ολοκλήρωμα με Γ

Re: Ολοκλήρωμα με Γ

Μέλη σε σύνδεση