Ακρότατα συνάρτησης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3709
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Ακρότατα συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Φεβ 13, 2019 9:19 pm

Να βρείτε και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης:

\displaystyle{f\left ( x, y \right ) = \left\{\begin{matrix} 
yx^2 & , & x^2 + y^2 \leq 1 \\\\  
\frac{1}{\sqrt{3}} & , & x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y \geq 0 \\\\  
-\frac{1}{\sqrt{3}} & , &  x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y <0  
\end{matrix}\right.}
Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ κάπου στην Ελλάδα!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ακρότατα συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Φεβ 15, 2019 10:55 am

Έστω D=\big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; x^2+y^2\leqslant1\big\}. Η συνάρτηση f:{\mathbb{R}}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}\,, \; f(x,y)=x^2y είναι συνεχής στο συμπαγές D. Επομένως παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο D.

Για τα ακρότατα στο εσωτερικό D^{\circ} :

(\grad f)(x,y)=(0,0)\quad \Leftrightarrow\quad \{x=0\; \wedge\; y\in\mathbb{R}\}

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό (αλλά όχι ολικό) μέγιστο στα σημεία του συνόλου \big\{(0,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; y^2<1\;{\text{\gr και}}\; y<0\big\} και τοπικό (αλλά όχι ολικό) ελάχιστο στα σημεία του συνόλου \big\{(0,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; y^2<1\;{\text{\gr και}}\; y>0\big\}.

Για τα ακρότατα στο σύνορο \partial D :
Με την μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange βρίσκουμε πιθανά σημεία ακροτάτων τα (0,\pm1), \big(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\big) και \big(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\mp\frac{1}{\sqrt{3}}\big).
Όμως f(0,\pm1)=0, f\big(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\big)=\pm\frac{2}{3\sqrt{3}} και f\big(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\mp\frac{1}{\sqrt{3}}\big)=\pm\frac{2}{3\sqrt{3}}.

Επομένως για κάθε (x,y)\in D ισχύει
-\dfrac{1}{\sqrt{3}}<-\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\leqslant f(x,y)\leqslant\dfrac{2}{3\sqrt{3}}<\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,.
Άρα η μέγιστη τιμή της f είναι η \frac{1}{\sqrt{3}}, την οποία παίρνει σε κάθε σημείο του συνόλου \big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; x^2+y^2>1\;{\text{\gr και}}\; y\geqslant0\big\}, και η ελάχιστη τιμή της f είναι η -\frac{1}{\sqrt{3}}, την οποία παίρνει σε κάθε σημείο του συνόλου \big\{(x,y)\in{\mathbb{R}}^2\;|\; x^2+y^2>1\;{\text{\gr και}}\; y<0\big\}.
aplogIII_5.png
aplogIII_5.png (41.69 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

Παρατήρηση: Η παραπάνω επίλυση είναι συνοπτική και όχι όπως θα έπρεπε να δοθεί σε μια εξέταση.


edit: 13:04, 15/2/2019: Μετά την παρατήρηση του Σταύρου (βλέπε επόμενη δημοσίευση), τον οποίο ευχαριστώ, συμπληρώθηκε η λύση με την εύρεση και των τοπικών ακροτάτων.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2190
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ακρότατα συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 15, 2019 12:29 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Φεβ 13, 2019 9:19 pm
Να βρείτε και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης:

\displaystyle{f\left ( x, y \right ) = \left\{\begin{matrix} 
yx^2 & , & x^2 + y^2 \leq 1 \\\\  
\frac{1}{\sqrt{3}} & , & x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y \geq 0 \\\\  
-\frac{1}{\sqrt{3}} & , &  x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y <0  
\end{matrix}\right.}
Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ κάπου στην Ελλάδα!
Μια ερώτηση. Αυτό το κάπου ποιο είναι ;

Κάποιες παρατηρήσεις.
Δεν διευκρινίζεται αν ζητούνται τα ολικά η τα τοπικά ακρότατα η όλα.
Βέβαια αν ψάξουμε τα τοπικά ακρότατα τότε υπάρχει αρκετή δουλειά.
Πολύ καλά έκανε ο Γρηγόρης και θεώρησε ολικά ακρότατα.
Πάνω στην λύση του Γρηγόρη έχω την εξής παρατήρηση .

Επειδή

\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+y^{2}\geq 3\sqrt[3]{(\frac{x^{4}y^{2}}{4})}

είναι |x^{2}y|\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}

με ισότητα αν και μόνο αν \frac{x^{2}}{2}=y^{2}

κλπ.

Ετσι μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε τους πολλαπλασιαστές Lagrange.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 840
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ακρότατα συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Φεβ 15, 2019 12:58 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Φεβ 15, 2019 12:29 pm

Μια ερώτηση. Αυτό το κάπου ποιο είναι ;
Και εγώ την ίδια απορία έχω γιατί δεν μπορούμε να πούμε από ποιο πανεπιστήμιο και τμήμα είναι τα θέματα; Το θεωρούμε μη σημαντικό; καλύπτονται από κάποιο copyright ανωνυμίας;


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ακρότατα συνάρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Φεβ 15, 2019 1:17 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Φεβ 13, 2019 9:19 pm
...Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ κάπου στην Ελλάδα!
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Φεβ 15, 2019 12:29 pm
Μια ερώτηση. Αυτό το κάπου ποιο είναι ;
Δεν νομίζω ότι υπάρχει πρόβλημα δικαιωμάτων. Το θέμα είναι από την προχθεσινή εξέταση Απ. Λογισμού ΙΙΙ στο Μαθηματικό Ιωαννίνων.
Εικάζω ότι αυτό το "...κάπου στην Ελλάδα!" είναι έκφραση στιγμιαίας διάθεσης, παρά οτιδήποτε άλλο.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8049
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ακρότατα συνάρτησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Φεβ 15, 2019 3:26 pm

Για τα ολικά ακρότατα μπορούμε επίσης να πούμε ότι για x^2 + y^2 \leqslant 1 έχουμε \displaystyle  |yx^2| \leqslant |y(1-y^2)|

Όμως εύκολα από λογισμό μίας μεταβλητής η y(1-y^2) στο [-1,1] μεγιστοποιείται/ελαχιστοποιείται είτε όταν y^2 = 1/3 είτε στα άκρα. Οπότε παίρνουμε |y(1-y^2)| \leqslant \frac{2}{3\sqrt{3}} < \frac{1}{\sqrt{3}} και τα υπόλοιπα τώρα είναι απλά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης