Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα(καλύτερο φράγμα)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Ενα καλύτερο φράγμα στην https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =9&t=61440

είναι(αλλάζοντας φυσικά τα σημεία)

Έστω $f:[{0,1}]\longrightarrow\mathbb{R}$ μία συνάρτηση με την ιδιότητα Lipschitz, δηλαδή τέτοια ώστε, για $K\in\mathbb{R}^{+}$

και για κάθε $x,\,y\in[0,1]$ , να ισχύει:

$|{f(x)-f(y)}|\leqslant{K}\,|{x-y}|\,.$
Να αποδειχθεί ότι, για κάθε $\nu\in\mathbb{N}$ , ισχύει

$\displaystyle\bigg|\int_{0}^{1}{f(x)\,dx}-\frac{1}{\nu}\mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{\nu}f\big(\tfrac{2\kappa-1}{2\nu}\big)\bigg|\leqslant\frac{K}{4\nu}\,.$

mikemoke · #2

Παρατηρούμε ότι
$\forall x\in[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}] ,\forall i\in\left \{ 0,1,...,n-1 \right \}$

$-K\left | x-\frac{2i+1}{2n} \right |+f(\frac{2i+1}{2n})\leq f(x)\leq K\left | x-\frac{2i+1}{2n} \right |+f(\frac{2i+1}{2n})$

$\Rightarrow \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} -K\left | x-\frac{2i+1}{2n} \right |dx+\int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} f(\frac{2i+1}{2n})dx \leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} f(x)dx\leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}K\left | x-\frac{2i+1}{2n} \right |dx+\int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(\frac{2i+1}{2n})dx$

$\Rightarrow -\frac{K}{4n^2}\leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} f(x)dx- \frac{ f(\frac{2i+1}{2n})}{n}\leq \frac{K}{4n^2}$

$\Rightarrow \sum_{i=0}^{n-1}-\frac{K}{4n^2}\leq \sum_{i=0}^{n-1} \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} f(x)dx- \sum_{i=0}^{n-1}\frac{ f(\frac{2i+1}{2n})}{n}\leq\sum_{i=0}^{n-1} \frac{K}{4n^2}$

$\Rightarrow -\frac{K}{4n}\leq \int_{0}^{1} f(x)dx- \sum_{i=0}^{n-1}\frac{ f(\frac{2i+1}{2n})}{n}\leq \frac{K}{4n}$

$\Rightarrow -\frac{K}{4n}\leq \int_{0}^{1} f(x)dx- \sum_{i=1}^{n}\frac{ f(\frac{2i-1}{2n})}{n}\leq \frac{K}{4n}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

mikemoke έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 05, 2018 11:12 am
Παρατηρούμε ότι
$\forall x\in[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}] ,\forall i\in\left \{ 0,1,...,n-1 \right \}$

$-K\left | x-\frac{2i+1}{2n} \right |+f(\frac{2i+1}{2n})\leq f(x)\leq K\left | x-\frac{2i+1}{2n} \right |+f(\frac{2i+1}{2n})$

$\Rightarrow \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} -K\left | x-\frac{2i+1}{2n} \right |+f(\frac{2i+1}{2n})dx \leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} f(x)dx\leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}K\left | x-\frac{2i+1}{2n} \right |+f(\frac{2i+1}{2n})dx$

$\Rightarrow -\frac{K}{4n^2}\leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} f(x)dx- \frac{ f(\frac{2i+1}{2n})}{n}\leq \frac{K}{4n^2}$

$\Rightarrow \sum_{i=0}^{n-1}-\frac{K}{4n^2}\leq \sum_{i=0}^{n-1} \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} f(x)dx- \sum_{i=0}^{n-1}\frac{ f(\frac{2i+1}{2n})}{n}\leq\sum_{i=0}^{n-1} \frac{K}{4n^2}$

$\Rightarrow -\frac{K}{4n}\leq \int_{0}^{1} f(x)dx- \sum_{i=0}^{n-1}\frac{ f(\frac{2i+1}{2n})}{n}\leq \frac{K}{4n}$

$\Rightarrow -\frac{K}{4n}\leq \int_{0}^{1} f(x)dx- \sum_{i=1}^{n}\frac{ f(\frac{2i-1}{2n})}{n}\leq \frac{K}{4n}$

Παρά πολύ ωραία. Κυρίως η διατύπωση.
Στην δεύτερη σχέση έχεις ξεχάσει να βάλεις σε δύο σημεία ολοκλήρωμα.

Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα(καλύτερο φράγμα)

Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα(καλύτερο φράγμα)

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα(καλύτερο φράγμα)

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα(καλύτερο φράγμα)

Μέλη σε σύνδεση