Διαφορισιμότητα πολυμεταβλητής συνάρτησης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2590
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Διαφορισιμότητα πολυμεταβλητής συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Φεβ 11, 2018 2:20 pm

Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f(x, y) = \left\{\begin{matrix} 
\dfrac{xy}{\sqrt[3]{x^2+y^2}} \,,  & (x, y) \neq (0, 0) \\  
0\,, & \left ( x,y \right ) = (0, 0)  
\end{matrix}\right. είναι διαφορίσιμη στο σημείο (0, 0).



ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Θέμα εξετάσεων Απ. Λογισμού ΙΙΙ (Μαθηματικό ΕΚΠΑ).


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 822
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Διαφορισιμότητα πολυμεταβλητής συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Φεβ 11, 2018 10:56 pm

Έχει πέσει αρκετές φορές και η πιο γενική περίπτωση:

Για ποιες τιμές του \lambda \in \mathbb{R} η συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}\mid f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle \frac{xy}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{\lambda }}, &(x,y)\neq (0,0) \\  
0, &(x,y)=(0,0)  
\end{matrix}\right.} είναι διαφορίσιμη;

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
papamixalis
Δημοσιεύσεις: 189
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm

Re: Διαφορισιμότητα πολυμεταβλητής συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papamixalis » Τρί Φεβ 13, 2018 4:24 am

Καλησπέρα :logo:
Θα γράψω την λύση του αρχικού ερωτήματος και μετά θα προσεγγίσω και την γενική περίπτωση.

Αρχικά εύκολα βρίσκουμε ότι οι μερκές παράγωγοι της f στο (0,0) ως προς x,y είναι 0
Άρα αρκέι να εξετάσω αν το παρακάτω κλάσμα

\dfrac{xy}{(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{3}}*(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{2}}}

τείνει στο 0 όταν (x,y)->(0,0)
Όμως

\dfrac{xy}{(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{3}}*(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{2}}} \leq \dfrac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{3}}*(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^{\dfrac{5}{6}}}=(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{6}}->0 όταν (x,y)->0

Άρα και το αρχικό μας κλάσμα τείνει στο 0 συνεπώς η f είναι διαφορίσιμη στο (0,0)


Για την γενική περίπτωση πρέπει να εξετάσω για ποιες τιμές του \lambda το κλάσμα

\dfrac{xy}{(x^2+y^2)^{\lambda +\dfrac{1}{2}}} τείνει στο 0

Για \lambda < \dfrac{1}{2} βρίσκουμε σχετικά εύκολα ότι είναι παραγωγίσιμη.

Για \lambda \geq \dfrac{1}{2} \rightarrow \lambda + \dfrac{1}{2} \geq 1 αποδεικνείεται ότι δεν είναι διαφορίσιμη πχ παίρνοντας τον "δρόμο" x=y το κλάσμα δεν τείνει στο 0

Ελπίζω να μην το έχω χάσει κάπου αλλιώς θα προσπαθήσω να το "σώσω" από αύριο.

Καλό ξημέρωμα σε όλους
Φιλικά
Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2590
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Διαφορισιμότητα πολυμεταβλητής συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Φεβ 13, 2018 7:48 am

Μια δεύτερη λύση...

Για να είναι η συνάρτηση f:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\; ;

\displaystyle f(x, y) = \left\{\begin{array}{ll} 
\dfrac{xy}{({x^2+y^2})^{\lambda}} \,,  & (x, y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0, 0)\}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
0\,, & \left ( x,y \right ) = (0, 0)  
\end{array}\right.\,, \quad \lambda\in\mathbb{R}\,,
διαφορίσιμη στο σημείο (0, 0), πρέπει και αρκεί να ισχύει

\begin{aligned} 
&\mathop{\lim}\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{f(x,y)-f(0,0)-(0,0)\cdot(x-0,y-0)}{\|(x-0,y-0)\|}=0&\Longleftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&\mathop{\lim}\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\frac{xy}{({x^2+y^2})^{\lambda}}}{({x^2+y^2})^{\frac{1}{2}}}=0&\Longleftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&\mathop{\lim}\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{xy}{({x^2+y^2})^{\lambda+\frac{1}{2}}}=0&\stackrel{(*)}{\Longleftrightarrow}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&\mathop{\lim}\limits_{(\rho,\varphi)\to (0,0)}\dfrac{\rho^2\cos\varphi\sin\varphi}{\rho^{2\lambda+1}}=0&\Longleftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&\mathop{\lim}\limits_{(\rho,\varphi)\to (0,0)}\rho^{1-2\lambda}\cos\varphi\sin\varphi=0&\Longleftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&1-2\lambda<0&\Longleftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&\lambda<\frac{1}{2}\,. 
\end{aligned}
(*) Αλλαγή σε πολικές συντεταγμένες.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες