Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Andreas A.
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Σάβ Απρ 22, 2017 8:50 pm

Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Andreas A. » Σάβ Ιαν 20, 2018 3:12 pm

Παρατήρησα (και απέδειξα μετά) ότι ισχύει η παρακάτω σχέση:

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \ \mu\varepsilon \ \left |f'(x) \right |>c>0 \ , \forall x\in\mathbb{R}\left \Rightarrow f(\mathbb{R})=\mathbb{R}

Η απόδειξή της είναι σχετικά απλή και βγαίνει και με μαθηματικά λυκείου.

Μπορούμε να την βελτιώσουμε/ υπάρχουν παρόμοιες (καλύτερες) προτάσεις για σύνολα τιμών;


Ανδρέας Αλεξανδρής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2847
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Ιαν 20, 2018 3:28 pm

Andreas A. έγραψε:
Σάβ Ιαν 20, 2018 3:12 pm
...υπάρχουν παρόμοιες (καλύτερες) προτάσεις για σύνολα τιμών;
Πάρα πολλές παρόμοιες προτάσεις...π.χ. η f συνεχής (όχι κατ' ανάγκη παραγωγίσιμη) και μη-φραγμένη.
Είναι πολύ γενική ερώτηση...


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 20, 2018 4:00 pm

Andreas A. έγραψε:
Σάβ Ιαν 20, 2018 3:12 pm
Παρατήρησα (και απέδειξα μετά) ότι ισχύει η παρακάτω σχέση:

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \ \mu\varepsilon \ \left |f'(x) \right |>c>0 \ , \forall x\in\mathbb{R}\left \Rightarrow f(\mathbb{R})=\mathbb{R}

Η απόδειξή της είναι σχετικά απλή και βγαίνει και με μαθηματικά λυκείου.

Μπορούμε να την βελτιώσουμε/ υπάρχουν παρόμοιες (καλύτερες) προτάσεις για σύνολα τιμών;
.
Βγαίνει με διάφορους τρόπους. Π.χ. εξετάζουμε την συνάρτηση στο [-N, N]. Αφού η παράγωγος δεν μηδενίζεται, η συνάρτηση έχει ακρότατα στα άκρα (αφού δεν έχει σε εσωτερικό σημείο). Χωρίς βλάβη  f(N) = max και  f(-N)= min (αλλιώς εξετάζουμε την -f). Άρα από ΘΜΤ

\displaystyle{f(N) = f(N) - f(0) +f(0) = |f(N) - f(0)| +f(0) = |f'(\xi) (N-0) | +f(0) \ge cN +f(0) \to \infty} και άρα \displaystyle{f(N)  \to \infty}. 'Ομοια \displaystyle{f(-N)  \to - \infty} , και λοιπά.

Άλλος τρόπος/παραλλαγή είναι με Darboux, όπου μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε f'(x) >0 (αφού πουθενά δεν μηδενίζεται). Άρα για x>0 είναι f(x)=f(0) + f'(\xi)(x-0)  \ge f(0) + c(x-0) \to \infty καθώς x\to \infty. Όμοια για x<0, και λοιπά.

Νομίζω ότι είναι στάνταρ άσκηση, χιλιοειπωμένη.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 21, 2018 3:27 pm

Άλλη μία παραλλαγή αλλά αποφεύγοντας τον Darboux, μια και ο τελευταίος είναι εκτός Λυκειακής ύλης:

Η συνάρτηση είναι 1-1 διότι αν a\ne b έχουμε |f(a)-f(b)|= |f'(\xi)(a-b)|\ne 0. Άρα η f είναι γνήσια μονότονη ως συνεχής, και χωρίς βλάβη είναι γνήσια αύξουσα. Έπεται ότι f'(x) \ge 0, που από την υπόθεση βελτιώνεται σε f'(x) >c>0, και γλυτώσαμε τον Darboux. Και λοιπά, όπως πριν.


Andreas A.
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Σάβ Απρ 22, 2017 8:50 pm

Re: Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Andreas A. » Τρί Ιαν 23, 2018 4:42 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιαν 21, 2018 3:27 pm
Άλλη μία παραλλαγή αλλά αποφεύγοντας τον Darboux, μια και ο τελευταίος είναι εκτός Λυκειακής ύλης:

Η συνάρτηση είναι 1-1 διότι αν a\ne b έχουμε |f(a)-f(b)|= |f'(\xi)(a-b)|\ne 0. Άρα η f είναι γνήσια μονότονη ως συνεχής, και χωρίς βλάβη είναι γνήσια αύξουσα. Έπεται ότι f'(x) \ge 0, που από την υπόθεση βελτιώνεται σε f'(x) >c>0, και γλυτώσαμε τον Darboux. Και λοιπά, όπως πριν.
Συμφωνούμε απόλυτα και στις 2 προσεγγίσεις, αρχικά το έλυσα με Darboux και μετά με το 1-1 + συνεχής = μονότονη για το "λυκειακό" του θέματος.


Ανδρέας Αλεξανδρής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης