Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς

#1

Το θέμα: Έστω μια συνάρτηση $f:(-a,a)\subset\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ , ορισμένη και άπειρες φορές παραγωγίσιμη στο (-a,a)

με $\lim_{x\to-a^{+}}f(x)=A\in\mathbb{R}$ , $\lim_{x\to a^{-}}f(x)=B\in\mathbb{R}$ και $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}r_n\,x^n\,,\; x\in(-a,a)$ (ομοιόμορφα). Αν η δυναμοσειρά $\sum_{n=0}^{+\infty}r_n\,x^n$ συγκλίνει στο κλειστό [-a,a]

και
$\widetilde{f}(x)=\begin{cases} f(x)\,,& x\in(-a,a)\\\noalign{\vspace{0.05cm}} A\,,& x=-a\\\noalign{\vspace{0.05cm}} B\,,& x=a \end{cases}\,,$
τότε ισχύει ότι $\widetilde{f}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}r_n\,x^n\,,\; x\in[-a,a]$ (ομοιόμορφα);

Νομίζω ότι η απάντηση είναι καταφατική, αλλά πώς μπορούμε να την αιτιολογήσουμε;

dement · #2

Αν η δυναμοσειρά συγκλίνει στο κλειστό διάστημα τότε συγκλίνει ομοιόμορφα (αφού συγκλίνει ομοιόμορφα στο ανοικτό) και έτσι θα διατηρηθεί η συνέχεια, οπότε έχουμε το αποτέλεσμα.

Νομίζω όμως πως δεν χρειάζεται να υποθέσουμε τη σύγκλιση στο κλειστό διάστημα. Με δεδομένη την ομοιόμορφη σύγκλιση στο ανοικτό πιστεύω έπεται η σύγκλιση στο κλειστό με ένα επιχείρημα παρόμοιο με αυτό για την απόδειξη της διατήρησης της συνέχειας στην ομοιόμορφη σύγκλιση.

#3

dement έγραψε:Αν η δυναμοσειρά συγκλίνει στο κλειστό διάστημα τότε συγκλίνει ομοιόμορφα (αφού συγκλίνει ομοιόμορφα στο ανοικτό) και έτσι θα διατηρηθεί η συνέχεια, οπότε έχουμε το αποτέλεσμα.

Νομίζω όμως πως δεν χρειάζεται να υποθέσουμε τη σύγκλιση στο κλειστό διάστημα. Με δεδομένη την ομοιόμορφη σύγκλιση στο ανοικτό πιστεύω έπεται η σύγκλιση στο κλειστό με ένα επιχείρημα παρόμοιο με αυτό για την απόδειξη της διατήρησης της συνέχειας στην ομοιόμορφη σύγκλιση.

Ευχαριστώ Δημήτρη για την άμεση απάντηση, την οποία θεωρώ πλήρη.
Το έναυσμα για την ερώτηση προήλθε από εδώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Η ομοιόμορφη σύγκλιση της σειράς στο (-a,a)

δίνει όλα τα άλλα.Παραθέτω τα σχετικά θεωρήματα.Το (1)είναι αυτό που χρειάζεται.

Για απλότητα και άλλους λόγους υποθέτω ότι a=1

.

1)Εστω $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k},x\in (-1,1)$

Η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη αν και μόνο αν οι σειρές

$\sum_{k=0}^{\infty }a_{k},\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}(-1)^{k}$

συγκλίνουν

Σε αυτή την περίπτωση η $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k},x\in [-1,1]$

ορίζεται είναι συνεχής και $f(1)=\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}$ ενώ $f(-1)=\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}(-1)^{k}$

2)Σχετικό είναι ένα θεώρημα του Littlewood

Αν $\lim_{r\rightarrow 1^{-}}\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}r^{k}=s$ όπου $s\in \mathbb{R}$

(Δηλαδή η σειρά $\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}$ είναι Abel αθροίσιμη )

και επιπλέον $a_{k}=O(\frac{1}{k})$ (δηλαδή $\left | ka_{k} \right |\leq M$ )

τότε η σειρά $\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}$ συγκλίνει.

Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς

Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς

Μέλη σε σύνδεση