Διαφορικὴ ἐξίσωση μὲ φραγμένες λύσεις

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Δίδεται ἡ ἐξίσωση
$\displaystyle{ x''+\mathrm{e}^t x=0. }$
Δείξατε ὅτι κάθε λύση αὐτῆς παραμένει φραγμένη στὸ $[0,\infty)$ .

#2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Δίδεται ἡ ἐξίσωση
$\displaystyle{ x''+\mathrm{e}^t x=0. }$
Δείξατε ὅτι κάθε λύση αὐτῆς παραμένει φραγμένη στὸ $[0,\infty)$ .

Την προχωράω μέχρι ένα σημείο αλλά έχω ένα κενό (και ερωτηματικό) στο τέλος.

Αλλάζω συμβολισμό για να το φέρω σε πιο γνώριμο συμβολισμό: Θα γράψω την εξίσωση ως $\displaystyle{y''+\mathrm{e}^x y=0}$ . Την εξίσωση αυτή μπορούμε να την λύσουμε συναρτήσει των συναρτήσεων Bessel. Συγκεκριμένα, κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $x = 2 e^{t/2}$ . Προσοχή όμως, χάνουμε την τιμή x=0

που είναι η δυσκολία (όπως θα δούμε) της άσκησης.

Πράξεις ρουτίνας με χρήση του κανόνα αλυσίδας φέρνει την εξίσωση στην μορφή

$\displaystyle{ t^2 \dfrac {d^2y}{dt^2} + t \dfrac {dy}{dt} + t^2y=0}$

Πρόκειται για την εξίσωση Bessel με παράμετρο $\nu =0$ . H λύση της είναι γνωστή (βγαίνει με δυναμοσειρές). Μία λύση είναι η λεγόμενη συνάρτηση Bessel $\displaystyle{J_o(t)= \sum_0^{\infty} \dfrac {(-1)^kt^{2k}}{(k!)^2}}$ που είναι φραγμένη, π.χ. διότι αποδεικνύεται ίση με την $\displaystyle{-\frac {1}{\pi} \int _0^{\pi} \cos (t \sin \theta) d \theta}$ .

Αυτό απαντά μέρος του ερωτήματος, αλλά πρέπει να εξετάσουμε και την άλλη λύση.

Η άλλη λύση κατά την θεωρία, τουλάχιστον για t>0

, είναι η

$\displaystyle{Y_o(t) = \frac {2}{\pi} (\ln t ) J_o(t) + A(t) }$ όπου

αναλυτική.

Δεν ξέρω να αποδείξω ότι η Y_o

είναι φραγμένη ή όχι, και η ύπαρξη του λογαρίθμου με προβληματίζει. Το αφήνω για κατοπινή σκέψη αλλά θα χαρώ να το δω λυμένο. Ίσως η άσκηση έχει λύση με απευθείας συλλογισμό, χωρίς να επιλύσουμε την εξίσωση.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Πολὺ ἐνδιαφέρουσα προσέγγιση. Πιθανότατα τροποποιεῖται εὔκολα ὥστε νὰ ἰσχύει γιὰ ὅλες τὶς λύσεις. Λάβε ὑπόψη ὅτι ὅλες οἱ μὴ μηδενικὲς λύσεις ἔχουν ἄπειρες ρίζες. Συνεπῶς, ὅλες οἱ λύσεις «μοιάζουν» μεταξὺ τους.

Ἀναστέλλω λοιπὸν τὴν δημοσίευση τῆς λύσεώς μου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Δίδεται ἡ ἐξίσωση
$\displaystyle{ x''+\mathrm{e}^t x=0. }$
Δείξατε ὅτι κάθε λύση αὐτῆς παραμένει φραγμένη στὸ $[0,\infty)$ .

Το $e^{t}$ είναι παπούτσι.

Συγκεκριμένα αν έχουμε την u''+q(t)u=0

οπου $q(t)> 0,q'(t)> 0,t\geq 0$

και η παράγωγος είναι συνεχής τότε

Κάθε λύση u(t)

είναι φραγμένη στο $[0,\infty )$ .

Το Θεώρημα Bocher-Osgood μας δίνει ότι αν a<b

διαδοχικές ρίζες της u'(t)=0

τότε $\left | u(b) \right |< \left | u(a) \right |$

(Η απόδειξη του είναι απλή και γίνεται πολλαπλασιάζοντας με

,ολοκλήρωση κατα μέρη)

Από το θεώρημα αυστηρής σύγκρισης του Sturm κάθε λύση έχει άπειρες ρίζες.

Μεταξύ δύο ριζών λόγω κυρτότητας η u'(t)=0

εχει ακριβώς μια ρίζα στην οποία η $\left | u(t) \right |$

παίρνει μέγιστη τιμή.

Λόγω του Bocher-Osgood αυτά τα μέγιστα θα μικραίνουν και το αποτέλεσμα είναι άμεσο

Γ.-Σ. Σμυρλής · #5

Πολλαπλασιάζομε ἐπὶ $\mathrm{e}^{-t}x'$ καὶ λαμβάνομε
$\displaystyle{ \mathrm{e}^{-t}x'x''+xx'=0. }$
Ὁλοκληρώνομε στὸ [0,t]

,

, καὶ ἔχομε
$\displaystyle{ \begin{aligned} 0=&2\int_0^t (\mathrm{e}^{-s}x'x''+xx')\,ds=2\int_0^t \mathrm{e}^{-s}x'x''\,ds+x^2(t)-x^2(0)\\ =&\big(x'(s)\big)^2\mathrm{e}^{-s}\big|_0^t+ \int_0^t \mathrm{e}^{-s}(x')^2\,ds+x^2(t)-x^2(0) \\ >& x^2(t)+\mathrm{e}^{-t}\big(x'(t)\big)^2-\big(x^2(0)+\big(x'(0)\big)^2\big) \end{aligned} }$
Συνεπῶς
$\displaystyle{ x^2(0)+\big(x'(0)\big)^2>x^2(t), }$
διὰ κάθε t>0

.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Ἐνδιαφέρον θὰ ἔχει νὰ διαπιστωθεῖ τὶ ἀκριβῶς συμβαίνει στὸ $(-\infty,0]$ .

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $x = 2 e^{t/2}$ . Προσοχή όμως, χάνουμε την τιμή που είναι η δυσκολία (όπως θα δούμε) της άσκησης.

Από βιασύνη πληκτρολόγισα το ανάποδο: Η αλλαγή μεταβλητής είναι $t = 2 e^{x/2}$ στην θέση του παραπάνω. Τα υπόλοιπα είναι σωστά. Επίσης τώρα μπορούμε να συμπληρώσουμε και το κομμάτι που άφησα (το

δεν πληριάζει το

καθώς για $x\ge 0$ είναι $t\ge 2$ ). Αν χρειαστεί θα το συμπληρώσω αν και με την ωραία λύση αμέσως παραπάνω, μάλλον περιττεύει.

Διαφορικὴ ἐξίσωση μὲ φραγμένες λύσεις

Διαφορικὴ ἐξίσωση μὲ φραγμένες λύσεις

Re: Διαφορικὴ ἐξίσωση μὲ φραγμένες λύσεις

Re: Διαφορικὴ ἐξίσωση μὲ φραγμένες λύσεις

Re: Διαφορικὴ ἐξίσωση μὲ φραγμένες λύσεις

Re: Διαφορικὴ ἐξίσωση μὲ φραγμένες λύσεις

Re: Διαφορικὴ ἐξίσωση μὲ φραγμένες λύσεις

Μέλη σε σύνδεση