μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 33

mathxl · #1

Να υπολογιστεί το
$\displaystyle{\int {\frac{1}{{\sqrt {2x\sqrt x - {x^2}} }}dx,x \in \left( {0,4} \right)} }$

#2

$\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{2x\sqrt{x}-x^2}}\,dx}=\int{\frac{1}{x\sqrt{\frac{2}{\sqrt{x}}-1}}\,dx}=I$ .
Θέτωντας $t=\sqrt{\tfrac{2}{\sqrt{x}}-1}$ , προκύπτουν $x=\dfrac{4}{\left({t^2+1}\right)^2}$ , $dx=\dfrac{-16t}{\left({t^2+1}\right)^3}\,dt$ καί
$I=\displaystyle\int{\frac{1}{\frac{4}{\left({t^2+1}\right)^2}\,t}\,\frac{-16t}{\left({t^2+1}\right)^3}\,dt}=-\int{\frac{4}{t^2+1}\,dt}=-4\,\arctan{t}\stackrel{t=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{x}}-1}}{=}-4\,\arctan\sqrt{\tfrac{2}{\sqrt{x}}-1} .\quad\square$

mathxl · #3

Καλημέρα

Γρηγόρη πολύ σωστά.
Μια άλλη προσέγγιση
$\displaystyle{\int {\frac{1}{{\sqrt {2x\sqrt x - {x^2}} }}dx} = 2\int {\frac{1}{{2\sqrt x \sqrt {2\sqrt x - x} }}dx} \mathop = \limits_{\frac{{dx}}{{2\sqrt x }} = du}^{\sqrt x = u} }$
$\displaystyle{2\int {\frac{1}{{\sqrt {2u - {u^2}} }}du = } 2\int {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {1 - u} \right)}^2}} }}du\mathop = \limits_{ - du = - dt}^{1 - u = t} } }$
$\displaystyle{ - 2\int {\frac{1}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}du = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\arccos t + c} \\ { - 2\arcsin t + c} \\ \end{array}} \right.} = }$
$\displaystyle{ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\arccos \left( {1 - \sqrt x } \right) + c} \\ { - 2\arcsin \left( {1 - \sqrt x } \right) + c} \\ \end{array}} \right.}$

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 33

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 33

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 33

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 33

Μέλη σε σύνδεση