Σειρά με τριγάμμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4441
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σειρά με τριγάμμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μαρ 29, 2017 5:48 pm

Ας δηλώσουμε με \psi^{(1)} τη τριγάμμα. Υπολογισθήτω η σειρά:
\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} (\psi^{(1)}(n))^2} (Cornel Ioan Valean)

Άνευ λύσης!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
pprime
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 16, 2014 1:54 am

Re: Σειρά με τριγάμμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pprime » Πέμ Αύγ 31, 2017 3:53 am

Tolaso J Kos έγραψε:Ας δηλώσουμε με \psi^{(1)} τη τριγάμμα. Υπολογισθήτω η σειρά: \displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} (\psi^{(1)}(n))^2}
\displaystyle{\psi _{1}\left( z \right)=-\int\limits_{0}^{1}{\frac{x^{z-1}\ln x}{1-x}dx}}

\displaystyle{\left( \psi _{1}\left( z \right) \right)^{2}=\left( -\int\limits_{0}^{1}{\frac{x^{z-1}\ln x}{1-x}dx} \right)\left( -\int\limits_{0}^{1}{\frac{y^{z-1}\ln y}{1-y}dy} \right)=\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( xy \right)^{z-1}\ln x\ln y}{\left( 1-x \right)\left( 1-y \right)}dxdy}}}

\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( -1 \right)^{n-1}\left( \psi _{1}\left( n \right) \right)^{2}}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \left( \psi _{1}\left( 2n-1 \right) \right)^{2}-\left( \psi _{1}\left( 2n \right) \right)^{2} \right)}}

\displaystyle{=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( \left( xy \right)^{2n-2}-\left( xy \right)^{2n-1} \right)\ln x\ln y}{\left( 1-x \right)\left( 1-y \right)}dxdy}}}=\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( 1-xy \right)\ln x\ln y}{xy\left( 1-x \right)\left( 1-y \right)}\cdot \frac{\left( xy \right)^{2}}{1-\left( xy \right)^{2}}dxdy}}}

\displaystyle{=\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln x\ln y}{\left( 1-x \right)\left( 1-y \right)}\cdot \frac{xy}{1+xy}dxdy}}=-\frac{1}{6}\int\limits_{0}^{1}{\frac{6\text{Li}_{2}\left( -y \right)+\pi ^{2}y}{1-y^{2}}\ln ydy}}

\displaystyle{=-\frac{\pi ^{2}}{6}\int\limits_{0}^{1}{\frac{y}{1-y^{2}}\ln ydy}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln y\text{Li}_{2}\left( -y \right)}{1-y^{2}}dy}=\frac{\pi ^{2}}{6}\cdot \frac{\pi ^{2}}{24}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln y\text{Li}_{2}\left( -y \right)}{1-y^{2}}dy}} ........................................ ¿?

:no: :no: :no: :no: :no:


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4441
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με τριγάμμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Αύγ 31, 2017 9:37 am

Hi pprime,

thank you for sharing your thoughts. Unfortunately, I do not have a solution on the given problem and I do not know how to evaluate the last integral either. If you come up with something please share it with :logo: .

By the way , there is also a similar series
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left( \psi^{(1)}(n) \right)^2 = 3 \zeta(3)} which is quite easy to prove.

Μετάφραση:

Γεια σου pprime,

ευχαριστώ που μοιράστηκες τις σκέψεις σου. Δυστυχώς , δεν έχω απάντηση για το δοθέν πρόβλημα και ούτε ξέρω πώς να λύσω το τελευταίο ολοκλήρωμα. Αν βρεις κάτι , ανεβάσετό στο :logo: .

Παρεπιπτόντως, υπάρχει και μία παρόμοια σειρά
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left( \psi^{(1)}(n) \right)^2 = 3 \zeta(3)} η οποία είναι αρκετά εύκολη να αποδειχθεί.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4441
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με τριγάμμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 11, 2017 8:57 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Μαρ 29, 2017 5:48 pm
Ας δηλώσουμε με \psi^{(1)} τη τριγάμμα. Υπολογισθήτω η σειρά:
\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} (\psi^{(1)}(n))^2} (Cornel Ioan Valean)

Άνευ λύσης!
Μία απάντηση:
\begin{aligned} 
 \sum_{n =1}^\infty (-1)^{n+1} (\psi^{(1)}(n))^2} &=\frac{49 \pi^4}{720} + \zeta(2) \log^2 2 - \frac{1}{6}\log^4 2 - \frac{7 \zeta(3) \log 2}{2}  - \\ 
 &\quad \quad - 4 \mathrm{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right) 
\end{aligned} όπου {\rm Li}_4 ο πολυλογάριθμος τάξης 4. Μία απάντηση μπορεί να βρεθεί εδώ .


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4441
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με τριγάμμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 11, 2017 9:04 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Αύγ 31, 2017 9:37 am
Παρεπιπτόντως, υπάρχει και μία παρόμοια σειρά
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left( \psi^{(1)}(n) \right)^2 = 3 \zeta(3)} η οποία είναι αρκετά εύκολη να αποδειχθεί.
Έχουμε ότι: \displaystyle{\psi^{(1)}(n) = \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2}} και κατά συνέπεια:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=1}^\infty \left( \psi^{(1)}(n) \right)^2 
&=\sum_{n=1}^\infty\sum_{j=n}^\infty\frac1{j^2}\sum_{k=n}^\infty\frac1{k^2} \\ 
&=\sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{j=n}^\infty\frac1{j^4}+2\sum_{j=n}^\infty\sum_{m=1}^\infty\frac1{j^2}\frac1{(j+m)^2}\right) \\ 
&=\sum_{j=1}^\infty\sum_{n=1}^j\frac1{j^4}+2\sum_{j=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^j\frac1{j^2}\frac1{(j+m)^2} \\ 
&=\sum_{j=1}^\infty\frac1{j^3}+2\sum_{j=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty\frac1{j(j+m)^2} \\ 
&=\zeta(3)+2\sum_{n=1}^\infty\frac{\mathcal{H}_{n-1}}{n^2} \\ 
&=\zeta(3)-2\zeta(3)+2\sum_{n=1}^\infty\frac{\mathcal{H}_n}{n^2} \\ 
&=\zeta(3)-2\zeta(3)+4\zeta(3) \\ 
&=3\zeta(3)  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης