Όριο

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το όριο
$\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \int\limits_n^{n + 1} {\left\{ {{x^2}\sin \frac{1}{x}} \right\}dx}$

#2

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το όριο
$\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \int\limits_n^{n + 1} {\left\{ {{x^2}\sin \frac{1}{x}} \right\}dx}$

Υπόδειξη:

α) το όριο στο άπειρο της $x \sin(1/x)\,$ είναι 1 (όσο της (sinx)/x στο 0).

Άρα για μεγάλα x είναι $x \sin(1/x)\ge \frac {1}{2}$ .

β) από το προηγούμενο, το δοθέν ολοκλήρωμα είναι $\ge \frac{1}{2} \int _{n}^{n+1}xdx \rightarrow +\infty$ .

Φιλικά

Μιχάλης Λάμπρου

#3

Δεύτερες σκέψεις: Μήπως τα {...} είναι "κλασματικό μέρος"; Αν ναι, τότε η παραπάνω λύση απαντά σε άλλο πρόβλημα...
(με {...} να σημαίνει παρενθέσεις).

Τι εστί γενόμενον;

Μ.

mathxl · #4

Μιχάλη΄, στην εκφώνηση δεν αποσαφηνίζεται κάτι τέτοιο, αλλά έχω την αίσθηση ότι πρόκειται περί κλασματικού μέρους

#5

mathxl έγραψε:Μιχάλη΄, στην εκφώνηση δεν αποσαφηνίζεται κάτι τέτοιο, αλλά έχω την αίσθηση ότι πρόκειται περί κλασματικού μέρους

Ναι, έτσι θα είναι.

Δεν ξέρω τη λύση αλλά δεν αμφιβάλλω ότι το πρώτο βήμα είναι:

Για δοθέν ε > 0 υπάρχει n(0) που για κάθε n > n(0) είναι

$1 - \epsilon \le x \sin \frac{1}{x} \le 1\,$

άρα

$(1 - \epsilon)x \le x^2 \sin \frac{1}{x} \le x\,$

και ... βλέπουμε.

Μ.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
mathxl έγραψε:Μιχάλη΄, στην εκφώνηση δεν αποσαφηνίζεται κάτι τέτοιο, αλλά έχω την αίσθηση ότι πρόκειται περί κλασματικού μέρους

Ναι, έτσι θα είναι.

Δεν ξέρω τη λύση αλλά δεν αμφιβάλλω ότι το πρώτο βήμα είναι:

Για δοθέν ε > 0 υπάρχει n(0) που για κάθε n > n(0) είναι

$1 - \epsilon \le x \sin \frac{1}{x} \le 1\,$

άρα

$(1 - \epsilon)x \le x^2 \sin \frac{1}{x} \le x\,$

και ... βλέπουμε.

Μ.

Νομίζω θέλουμε κάτι λίγο πιο ισχυρό. Αρκεί πάντως να χρησιμοποιήσουμε ότι για μεγάλα

,

$\displaystyle{ x - \frac{1}{x} \leqslant x^2 \sin(1/x) \leqslant x}$

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση