Εύρεση μιας ακολουθίας

The Notorious N.I.C.K. · #1

Ας είναι $u_{0}>0$ ένας πραγματικός αριθμός και $a_{n}$ μία ακολουθία αυστηρά θετικών πραγματικών αριθμών. Όρίστε την ακολουθία $u_{n}$ με: $u_{n+1}=u_{n} + \frac{a_{n}}{u_{n}}$ .

Δείξτε ότι η $u_{n}$ συγκλίνει αν και μόνο αν $\sum{a_{n}}<\propto$ .

Πρότυπο θέμα εισαγωγικών εξετάσεων στην Ecole Polytechnique.

AlexandrosG · #2

Καλησπέρα.

Επαγωγικά, είναι απλό ότι η ακολουθία (u_n)

έχει θετικούς όρους και είναι αύξουσα. Συνεπώς συγκλίνει αν και μόνο αν είναι φραγμένη άνω. Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε ότι

$\displaystyle{u_{n+1}=u_0+\frac{a_0}{u_0}+\frac{a_1}{u_1}+...+\frac{a_n}{u_n}}$

Αν $u_n \leq M$ για κάθε $n \in \mathbb{N}$ , τότε

$\displaystyle{M \geq u_{n+1}=u_0+\frac{a_0}{u_0}+\frac{a_1}{u_1}+...+\frac{a_n}{u_n} \geq u_0+\frac{a_0}{M}+\frac{a_1}{M}+...+\frac{a_n}{M}}$

οπότε

$\displaystyle{a_0+a_1+...+a_n \leq M(M-u_0)}$ για κάθε $n \in \mathbb{N}$ και άρα η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty} a_n}$ συγκλίνει.

Αντίστροφα, αν η σειρά συγκλίνει τότε

$\displaystyle{u_{n+1}=u_0+\frac{a_0}{u_0}+\frac{a_1}{u_1}+...+\frac{a_n}{u_n} \leq u_0+\frac{a_0}{u_0}+\frac{a_1}{u_0}+...+\frac{a_n}{u_0} \leq u_0+\frac{\sum_{n=0}^{+\infty} a_n}{u_0}}$

οπότε η (u_n)

είναι φραγμένη.

Εύρεση μιας ακολουθίας

Εύρεση μιας ακολουθίας

Re: Εύρεση μιας ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση