Τύπος με πολλαπλή ολοκλήρωση

#1

Ας δειχεί ότι

$\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{f(t)(x-t)^{n}}{n!}\,dt=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{t_{n}}\Big(\cdots\Big(\int_{0}^{t_{1}}f(u)\,du\Big)\,dt_{1}\Big)\cdots\right)\,dt_{n}$ .

(ψιλοσάπια..(;))

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ας δειχεί ότι

$\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{f(t)(x-t)^{n}}{n!}\,dt=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{t_{n}}\Big(\cdots\Big(\int_{0}^{t_{1}}f(u)\,du\Big)\,dt_{1}\Big)\cdots\right)\,dt_{n}$ .

(ψιλοσάπια..(;))

Κάνουμε επαγωγή ως προς n.

Για n=1 θέλουμε να δείξουμε $\int_0^xf(t)(x-t)dt = \int_0^xf(u)du$ .

Μπορούμε να το δείξουμε είτε με την τεχνική που υπάρχει παρακάτω, με εναλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης, είτε παραγωγίζοντας: Ο δεύτερος τρόπος δίνει, μετά την παραγώγιση (ως προς x), ότι και τα δύο μέλη είναι ίσα με f(x). Άρα τα ολοκληρώματα διαφέρουν κατά σταθερά. Θέτοντας χ=0 βλέπουμε ότι η σταθερά είναι 0.

Για το επαγωγικό βήμα, ολοκληρώνουμε από 0 ως a τα δύο μέλη της υπόθεσης. Το δεξί δίνει το αντίστοιχο για n+1. Το αριστερό, με εναλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης, δίνει (*)

$\int_0^a\int_0^x\frac{f(t)(x-t)^n}{n!}dtdx = \int_0^a\int_t^a\frac{f(t)(x-t)^n}{n!}dxdt = \int_0^a\frac{f(t)}{(n+1)!}(x-t)^{n+1}\left|\begin{matrix} x=a\\x= t \end{matrix}}dt =\int_0^af(t)\frac{(a-t)^{n+1}}{(n+1)!}dt$

όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

(*) βλέπε το επισυναπτόμενο σχήμα, όπου η ολοκλήρωση γίνεται πάνω από το μπλε τρίγωνο. 'Ετσι, όταν ολοκληρώσουμε ως προς χ πρώτα, τότε το χ πάει από t έως a.

Τύπος με πολλαπλή ολοκλήρωση

Τύπος με πολλαπλή ολοκλήρωση

Re: Τύπος με πολλαπλή ολοκήρωση

Μέλη σε σύνδεση