άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιαν 20, 2010 2:57 pm

Ένα επιμορφωτικό με επάναληπτικό χαρακτήρα θέμα.

Έστω η συνάρτηση
\displaystyle{ f(x) =\left\{\begin{array}{cc}0 &\text{if}\, x\leq 0\\ e^{-1/x^{2}}&\text{if}\, x > 0\\ \end{array}\right }
Να αποδείξετε ότι η f είναι άπειρα φορές παραγωγίσιμη στο R και ότι f^{(n)}(0) = 0 για κάθε n\geq 1.
Είναι οι άπειρα παραγωγίσιμες συναρτήσεις (δέχονται παραγώγους κάθε τάξης στο R), αναλυτικές στο R;
Mια από τα ίδια στο C;


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Re: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Τετ Ιαν 20, 2010 5:02 pm

Με απλή επαγωγή δείχνεις ότι για x>0 ισχύει f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x^2} με το P_n πολυώνυμο (βαθμού 3n ή κάτι τέτοιο). Μετά χρησιμοποιείς το \lim\limits_{t\to +\infty }\frac{tP_n(t)}{e^{t^2}}=0 και την αλλαγή μεταβλητής t=\frac{1}{x} για να δεις ότι f^{(n+1)}(0)=0. Για x<0 είναι φανερό ότι f^{(n)}(x)=0. Αναλυτική δεν είναι γιατί θα γραφόταν \displaystyle{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n} σε κάποιο (-\epsilon ,\epsilon ) και θα μηδενιζόταν εκεί.


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιαν 20, 2010 5:45 pm

Στο R εντάξει, στο σύνολο των μιγαδικών; Φαντάζομαι ότι τότε ο τύπος είναι για z=0 f(0)=0 και ειδάλλως f(z)=e^(-1/z^2)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12624
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 20, 2010 7:10 pm

mathxl έγραψε:Ένα επιμορφωτικό με επάναληπτικό χαρακτήρα θέμα.

Έστω η συνάρτηση
\displaystyle{ f(x) =\left\{\begin{array}{cc}0 &\text{if}\, x\leq 0\\ e^{-1/x^{2}}&\text{if}\, x > 0\\ \end{array}\right }
Να αποδείξετε ότι η f είναι άπειρα φορές παραγωγίσιμη στο R και ότι f^{(n)}(0) = 0 για κάθε n\geq 1.
Είναι οι άπειρα παραγωγίσιμες συναρτήσεις (δέχονται παραγώγους κάθε τάξης στο R), αναλυτικές στο R;
Mια από τα ίδια στο C;

Αξίζει να δείτε παλαιότερη συζήτηση εδώ σχετικά με την συνάρτηση αυτή. Δείτε το όμως από την αρχή του thread.

Μ.


Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Re: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Τετ Ιαν 20, 2010 8:01 pm

mathxl έγραψε:Στο R εντάξει, στο σύνολο των μιγαδικών; Φαντάζομαι ότι τότε ο τύπος είναι για z=0 f(0)=0 και ειδάλλως f(z)=e^(-1/z^2)
Για t\in {\mathbb R} με t\to 0^+ έχεις f(it)=e^{\frac{1}{t^2}}\to +\infty.

Σημ.: Ναι, είναι ωραίο θέμα αυτό με το πολυώνυμο, υπάρχουν και παραλλαγές του. Με πιο ασθενείς υποθέσεις έχεις το ίδιο συμπέρασμα. Μπορεί να προσθέσω μερικές εκεί.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8541
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: άπειρες φορές παραγωγίσιμη =Αναλυτική;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιαν 20, 2010 11:46 pm

mathxl έγραψε:Στο R εντάξει, στο σύνολο των μιγαδικών;
Στους μιγαδικούς ισχύει ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα

1) Η f είναι παραγωγίσιμη.
2) Η f είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη.
3) Η f είναι αναλυτική

Η συνάρτηση που έβαλες, όπως έχει δείξει και ο Καραδήμας δεν είναι καν συνεχής. Πόσο μάλλον παραγωγίσιμη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες