Ασκήσεις στην Ανάλυση!

sokratis lyras · #1

Ανοίγω αυτό το φάκελο για να δούμε ασκήσεις ανάλυσης (απειροστικού 1 και 2,και πραγματικής),κυρίως θεωρητικές και όχι υπολογισμοί ολοκληρωμάτων,σειρών κλπ επειδή τώρα τελευταία,δεν υπάρχουν πολλά πανεπιστημιακά τόπικς στο φόρουμ!Ας αρχίσουμε με 2 εύκολες:

Άσκηση 1

Έστω $\displaystyle(X,d)$ μετρικός χώρος.Αποδείξτε ότι κάθε κλειστό υποσύνολο του

γράφεται ως αριθμήσιμη τομή ανοιχτών συνόλων και κάθε ανοιχτό υποσύνολο του

γράφεται ως αριθμήσιμη ένωση κλειστών συνόλων.

Άσκηση 2

Είναι σωστό ότι για κάθε άπειρο μετρικό χώρο $\displaystyle(X,d)$ υπάρχει άπειρο υποσύνολό

του

ώστε κάθε $G\subseteq A$ να είναι ανοιχτό ως προς τη σχετική μετρική στο

;

Tolaso J Kos · #2

sokratis lyras έγραψε: Άσκηση 1

Έστω $\displaystyle(X,d)$ μετρικός χώρος.Αποδείξτε ότι κάθε κλειστό υποσύνολο του γράφεται ως αριθμήσιμη τομή ανοιχτών συνόλων.

Δίνω μία απάντηση, χωρίς να 'μαι και τόσο σίγουρος.

Έστω $\displaystyle{A\subseteq X}$ το οποίο είναι κλειστό. Για κάθε $\nu \in \mathbb{N}$ ορίζουμε $\displaystyle{U_\nu=\bigcup_{a \in A} B\left ( a, \frac{1}{\nu} \right )}$ .

Οπότε το $U_\nu$ είναι ανοιχτό ως ένωση ανοιχτών σφαιρών.
Είναι προφανές ότι $\displaystyle{A\subseteq \bigcap _{\nu \in \mathbb{N}}U_\nu}$ , άρα αρκεί να δείξω ότι $\displaystyle{A\supseteq \bigcap_{\nu \in \mathbb{N}}U_\nu }$ .

Έστω ότι $\displaystyle{x \notin A}$ . Θα δείξω ότι $\displaystyle{x \notin \bigcap U_\nu }$ .
Εφόσον το

είναι κλειστό, τότε το A^c

είναι ανοιχτό άρα υπάρχει $\nu \in \mathbb{N}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{B\left ( x, \frac{1}{\nu} \right )\cap A=\varnothing}$ . Δηλαδή για όλα τα $a \in A$ έχουμε ότι $\displaystyle{a \notin B\left ( x, \frac{1}{\nu} \right )}$ .

Συνεπώς για όλα τα $\displaystyle{a \in A \implies x \notin B\left ( a, \frac{1}{\nu} \right ) \implies x \notin U_\nu \implies x \notin \bigcap U_\nu}$ .

Θα θελα να μου πει κάποιος αν είναι σωστό.

#3

Tolaso J Kos έγραψε:
Εφόσον το είναι κλειστό, τότε το είναι ανοιχτό άρα υπάρχει $\nu \in \mathbb{N}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{B\left ( x, \frac{1}{\nu} \right )\cap A=\varnothing}$ .
<...>
Συνεπώς για όλα τα $\displaystyle{a \in A \implies x \notin B\left ( a, \frac{1}{\nu} \right )$ .

Θα θελα να μου πει κάποιος αν είναι σωστό.

Σε αυτό το σημείο υπάρχει μία ατέλεια:

Δοθέντος του

έδειξες ότι υπάρχει $\nu \in \mathbb{N}$ με $\displaystyle{B\left ( x, \frac{1}{\nu} \right )\cap A=\varnothing}$ . Αυτό που έχει σημασία είναι ότι το $\nu$ εξαρτάται από το

. Οπότε δεν είναι σωστός ο ισχυρισμός
για όλα τα $\displaystyle{a \in A \implies x \notin B\left ( a, \frac{1}{\nu} \right )$ . Το τελευταίο σημαίνει ότι για όλα τα

μας κάνει το ίδιο $\nu$ . Όχι!

Η απόδειξη σε αυτό μπορεί να διορθωθεί.

Το αφήνω για την ώρα ώστε να έχεις την χαρά να το σκεφτείς.

Μ.

AlexandrosG · #4

Ωραία ιδέα αυτό το θέμα. Να προσθέσω δύο προβλήματα.

Άσκηση 3

Έστω $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n}}$ να συγκλίνει. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=0.}$

Άσκηση 4

Είναι δυνατόν σε ένα μετρικό χώρο να υπάρχουν δύο μπάλες $\displaystyle{B(x,\epsilon_1)}$ και $\displaystyle{B(y,\epsilon_2)}$ έτσι ώστε $\displaystyle{B(x,\epsilon_1)\subsetneq B(y,\epsilon_2)}$ ενώ $\displaystyle{\epsilon_1>\epsilon_2}$ ?

Ιστοσελίδα · #5

Άσκηση 1

Έστω $\displaystyle(X,d)$ μετρικός χώρος. Αποδείξτε ότι κάθε κλειστό υποσύνολο του γράφεται ως αριθμήσιμη τομή ανοιχτών συνόλων και κάθε ανοιχτό υποσύνολο του γράφεται ως αριθμήσιμη ένωση κλειστών συνόλων.

Δηλαδή κάθε κλειστό υποσύνολο ενός μετρικού χώρου είναι $G_{\delta}$ -σύνολο και κάθε ανοικτό υποσύνολο ενός μετρικού χώρου είναι $F_{\sigma}$ -σύνολο.

Έστω

κλειστό υποσύνολο του

. Αν $d_F:X\to \mathbb{R}$ η συνάρτηση απόστασης από το σύνολο

,
για κάθε $n\in\mathbb{N}$ θεωρούμε το σύνολο $G_n=\{x\in X:d_F(x)<\frac{1}{n}\}$ .

Η συνάρτηση d_F

είναι (ομοιόμορφα) συνεχής, το σύνολο $(-\infty,\frac{1}{n})$ είναι ανοικτό στο $\mathbb{R}$ ,
άρα το G_n

είναι ανοικτό υποσύνολο του

.

Επειδή $F\subseteq G_n$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$ , θα είναι $F\subseteq\bigcap_{n=1}^{\infty}G_n$ .

Αν $x\in \bigcap_{n=1}^{\infty}G_n$ τότε $x\in G_n$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$ , δηλαδή $d_F(x)<\frac{1}{n}$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$ ,

άρα d_F(x)=0

οπότε $x\in \overline{F}=F$ ,αφού το

είναι κλειστό.

Επομένως, Τότε $F=\bigcap_{n=1}^{\infty}G_n$ .

Αν

είναι ανοικτό υποσύνολο του

τότε το

είναι κλειστό υποσύνολο του

.

Είναι $X-G=\bigcap_{n=1}^{\infty}G_n$ οπότε $G=X-\bigcap_{n=1}^{\infty}G_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}(X-G_n)=\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n$ , όπου
F_n=X-G_n

κλειστό υποσύνολο του

.

Ιστοσελίδα · #6

Άσκηση 4
Είναι δυνατόν σε ένα μετρικό χώρο να υπάρχουν δύο μπάλες $\displaystyle{B(x,\epsilon_1)}$ και $\displaystyle{B(y,\epsilon_2)}$ έτσι ώστε $\displaystyle{B(x,\epsilon_1)\subsetneq B(y,\epsilon_2)}$ ενώ $\displaystyle{\epsilon_1>\epsilon_2}$ ?

Ναι είναι δυνατόν να συμβαίνει.

Στο ευκλείδειο επίπεδο θεωρούμε το μετρικό χώρο (X,d)

με $X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 16\}$ και

η ευκλείδεια μετρική.

Θεωρούμε τις μπάλες $B((3,0),5)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:(x-3)^2+y^2< 25\}\cap X$ και

$B((0,0),4)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2< 16\}$

Είναι $B((3,0),5)\subsetneq B((0,0),4)$ ενώ $\epsilon_1=5>4=\epsilon_2.$

#7

AlexandrosG έγραψε: Άσκηση 4

Είναι δυνατόν σε ένα μετρικό χώρο να υπάρχουν δύο μπάλες $\displaystyle{B(x,\epsilon_1)}$ και $\displaystyle{B(y,\epsilon_2)}$ έτσι ώστε $\displaystyle{B(x,\epsilon_1)\subsetneq B(y,\epsilon_2)}$ ενώ $\displaystyle{\epsilon_1>\epsilon_2}$ ?

Γίνεται. Για παράδειγμα ο Μετρικός Χώρος $X=\{0,\, 1, \, 2\}$ όπου οι αριθμοί 0,1,2

λαμβάνονται (στην σωστή τους θέση) πάνω στον άξονα των πραγματικών.

Για $\displaystyle{\epsilon_1= \frac {3}{2}> \frac {4}{3}=\epsilon_2}$ έχουμε

$\displaystyle{ B\left (0, \, \frac {3}{2}\right )= \{0, \, 1\} \subsetneq \{0, \, 1, \, 2\}= B\left (1, \frac {4}{3}\right )}$

M.

Edit. Με πρόλαβαν. Το αφήνω για τον κόπο και τις μικροδιαφορές.

sokratis lyras · #8

AlexandrosG έγραψε:
Άσκηση 3

Έστω $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n}}$ να συγκλίνει. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=0.}$

Αν η

δεν πήγαινε στο

θα υπήρχε $\epsilon>0$ και k_n

γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών ώστε $|a_{k_n}|\ge \epsilon$ .Τότε όμως η δοθείσα σειρά θα απόκλινε.
Άρα $a_n\rightarrow 0$ .

Έστω s_n=a_1+a_2+...+a_n

.

Η $b_n=\displaystyle\frac{s_{n+1}-s_n}{n+1-n}=a_{n+1}$ συγκλίνει στο

και από stolz τελειώσαμε.

Υ.Γ. Με επιφύλαξη!

#9

sokratis lyras έγραψε: Αν η δεν πήγαινε στο θα υπήρχε $\epsilon>0$ και γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών ώστε $|a_{k_n}|\ge \epsilon$ .Τότε όμως η δοθείσα σειρά θα απόκλινε.
Άρα $a_n\rightarrow 0$ .
<...>
Υ.Γ. Με επιφύλαξη!

Σωκράτη, προσοχή δεν είναι σωατό αυτό. Για παράδειγμα αν a_n= 1

όποτε $n=2^k, \, k\in \mathbb N$ και

αλλιώς τότε

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n}= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k}< \infty}$ αλλά $a_n \not \rightarrow 0$

M.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Είναι αρκέτα δύσκολη.Η ιδέα είναι να γίνει άθροιση κατά μέρη.Βρίσκεται στο Problems in Mathematical Analysis I W.J.Kaczor M.T.Nowak.3.4.28

#11

Δεν έχω το βιβλίο των Kaczor, Nowak για να συγκρίνω αλλά το πιστεύω ότι είναι δύσκολη η άσκηση.

Από κάτω δίνω λύση με την επιπλέον υπόθεση $a_n\ge 0 , \forall n$ γιατί από μόνη της είναι ενδιαφέρουσα και (μάλλον) απλούστερη από την γενική περίπτωση (που δεν είδα).

AlexandrosG έγραψε: Άσκηση 3

Έστω $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n}}$ να συγκλίνει. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=0.}$

Έστω ότι $\displaystyle{ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \not \rightarrow 0}$ . Άρα υπάρχει $\epsilon >0$ και άπειρο σύνολο δεικτών $M \subseteq \mathbb N$ με

$\displaystyle{ \frac{a_1+a_2+...+a_m}{m} \ge \epsilon, \, \forall m\in M}$

Ορίζουμε επαγωγικά ακολουθία m_1<m_2 < ...

στοιχείων του

με $\displaystyle{ \frac{a_{m_{k-1}+1}+...+a_{m_k}}{m_k} \ge \frac {1}{2} \epsilon, \, \forall k}$ ως εξής.

Για το επαγωγικό βήμα, αφού έχουμε επιλέξει τον $m_{k-1}$ , επιλέγουμε $m_k\in M$ τόσο μεγάλο ώστε να ισχύει

$\displaystyle{ \displaystyle{ \frac{a_{1}+...+a_{m_{k-1}}}{m_k} \le \frac {1}{2} \epsilon }$

Είναι τότε

$\displaystyle{ \frac{a_{m_{k-1}+1}+...+a_{m_k}}{m_k} = \frac{a_{1}+...+a_{m_{k}}}{m_k}- \frac{a_{1}+...+a_{m_{k-1}}}{m_k}\ge \epsilon - \frac {1}{2} \epsilon= \frac {1}{2} \epsilon }$ , όπως θέλαμε.

Έχουμε τώρα (εδώ μπαίνει η υπόθεση $a_n \ge 0, \forall n$ )

$\displaystyle{ \frac { a_{m_{k-1}+1} }{ m_{k-1}+1}} +... + \frac {a_{m_k}} {m_k }\ge \frac{a_{m_{k-1}+1}+...+a_{m_k}}{m_k} \ge \frac {1}{2} \epsilon$

που σημαίνει ότι η $\sum _{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n}$ αποκλίνει αφού δεν είναι Cauchy.

Από το άτοπο έπεται το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης

sokratis lyras · #12

Ας συνεχίσουμε..(παραμένουν οι 2,3).

Άσκηση 5

Έστω $\displaystyle F$ μη κενό και κλειστό υποσύνολο του $\mathbb{R}$ και $\displaystyle f:F\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση.Δείξτε ότι υπάρχει συνεχής $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ έτσι ώστε $\displaystyle f(x)=g(x)$ για κάθε $x\in F$ .

Αλέξανδρε,κάποια υπόδειξη για το 3?

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #13

Για την 5. Το συμπλήρωμα του F είναι ανοικτό. Αρα γραφέται σαν αριθμήσιμη ενωσή ξένων ανοικτών διαστήματων.
Τα ακρά των διαστήματων ανήκουν στο F. Σε καθένα από αυτά τα διαστήματά επεκτείνουμε την συναρτήση γραμμικά.
Το αποτέλεσμα ισχύει γενικά σε μετρικό χώρο. Σε τοπολόγικους χώρους ισχύει με προϋποθέσεις και εχει ονόμα H.Tietze.

Ιστοσελίδα · #14

Άσκηση 6

Ένας μετρικός χώρος

έχει την ιδιότητα:

"Η τομή οσωνδήποτε ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο."

Να αποδείξετε ότι κάθε υποσύνολό του είναι ανοικτό και κλειστό.

AlexandrosG · #15

sokratis lyras έγραψε:Ας συνεχίσουμε..(παραμένουν οι 2,3).

Αλέξανδρε,κάποια υπόδειξη για το 3?

Την υπόδειξη για την λύση που γνωρίζω την έχει δώσει ο Σταύρος. Η άθροιση κατά μέρη/κατά Abel είναι το ανάλογο της ολοκλήρωσης κατά μέρη για σειρές. Σαν μια έξτρα υπόδειξη, μπορούμε να ξεκινήσουμε από τη δοθείσα σειρά να κάνουμε άθροιση κατά μέρη και το ζητούμενο όριο θα εμφανιστεί σαν ένας όρος. Πρόκειται για λήμμα του Kronecker.

AlexandrosG · #16

stranton έγραψε:Άσκηση 6

Ένας μετρικός χώρος έχει την ιδιότητα:

"Η τομή οσωνδήποτε ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο."

Να αποδείξετε ότι κάθε υποσύνολό του είναι ανοικτό και κλειστό.

Μέσω της ισοδυναμίας/ορισμού το σύνολο

είναι ανοικτό αν και μόνο αν το σύνολο $X\setminus U$ είναι κλειστό, συμπεραίνουμε ότι η ένωση οσωνδήποτε κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο. Τα μονοσύνολα είναι κλειστά και συνεπώς οποιοδήποτε σύνολο είναι κλειστό. Ξανά από την ισοδυναμία οποιοδήποτε σύνολο είναι και ανοικτό. Να σημειώσω εδώ ότι τότε ο χώρος λέγεται διακριτός και μια μετρική που επάγει αυτήν την τοπολογία είναι η $\displaystyle{d(x,y)=1}$ για $x\neq y$ ενώ $\displaystyle{d(x,y)=0}$ για x=y

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #17

Υπόδειξη για την 2.
Είναι σωστό.Θα πρέπει να κατασκεύασθει ακολουθία ξενών ανοικτών σφαίρων.
Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις.
α)Ο χώρος δεν εχεί σημεία συσσώρευσης.Τότε όλα τα σημεία είναι μεμονωμένα.
β)Ο χώρος εχεί τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης.Τότε σε κάθε σφαίρα με κέντρο αύτο το σήμειο υπάρχουν απείρα σημεία του χώρου.
Κάνουμε επαγώγικη κατάσκευη των σφαίρων.

kgeo67 · #18

Ασκηση 7
Η έννοια του ολικά φραγμένου συνόλου διατηρείται από τους ομοιομορφισμούς;

#19

kgeo67 έγραψε:Ασκηση 7
Η έννοια του ολικά φραγμένου συνόλου διατηρείται από τους ομοιομορφισμούς;

Όχι, δεν διατηρείται κατ' ανάγκη: Το (0,1]

είναι ομοιομορφικό με το $[1, +\infty)$ μέσω της $f(x) = \frac {1}{x}$ αλλά το μεν πρώτο είναι ολικά φραγμένο (άμεσο) αλλά όχι το δεύτερο (αφού δεν είναι καν φραγμένο).

Μ.

#20

kgeo67 έγραψε:Ασκηση 7
Η έννοια του ολικά φραγμένου συνόλου διατηρείται από τους ομοιομορφισμούς;

Άλλο αντιπαράδειγμα (στην πραγματικότητα χρησιμοποιεί την ίδια ιδέα με το προηγούμενο, αλλά είναι ντυμένο αλλιώς):

Εξετάζουμε το $\displaystyle{ \left ( -\frac {\pi}{2} , \frac {\pi}{2}\right ) }$ με την συνήθη μετρική και, κατόπιν, με την μετρική
$d(x,y)= |\tan x- \tan y|$ .

To πρώτο είναι ολικά φραγμένο (άμεσο) αλλά όχι το δεύτερο. Ένας γρήγορος τρόπος να το διαπιστώσουμε είναι η παρατήρηση ότι ο δεύτερος είναι ομοιομορφικός με το $\mathbb R$ μέσω της $f(x)=\tan x$ αλλά, φυσικά, το $\mathbb R$ δεν είναι ολικά φραγμένο ως μη φραγμένο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μέλη σε σύνδεση