Παράγωγοι μιας άπειρες φορές παραγωγίσιμης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Παράγωγοι μιας άπειρες φορές παραγωγίσιμης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Σάβ Δεκ 26, 2009 8:47 pm

Δίνεται f:{\mathbb R}\to {\mathbb R} άπειρες φορές παραγωγίσιμη, τέτοια που \displaystyle{\lim_{x\to \pm\infty }\frac{f(x)}{x^n}=0} για κάποιο n=0,1,2,\ldots. Να δειχτεί ότι για κάθε k>n η f^{(k)} έχει ρίζα.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12621
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράγωγοι μιας άπειρες φορές παραγωγίσιμης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 27, 2009 6:09 pm

Καραδήμας έγραψε:Δίνεται f:{\mathbb R}\to {\mathbb R} άπειρες φορές παραγωγίσιμη, τέτοια που \displaystyle{\lim_{x\to \pm\infty }\frac{f(x)}{x^n}=0} για κάποιο n=0,1,2,\ldots. Να δειχτεί ότι για κάθε k>n η f^{(k)} έχει ρίζα.

Τα κύρια βήματα της ωραίας αυτής άσκησης:

α) Για την f^{(n+1)}\, συμβαίνει ένα από τα δύο: Είτε υπάρχει x_0\,που από κει και πέρα διατηρεί το πρόσημό της, είτε όχι.
Στη πρώτη περίπτωση (χωρίς βλάβη το πρόσημο είναι θετικό) η f^{(n)}\, είναι γνήσια αύξουσα από το x_0 \, και πέρα, f^{(n)}(x) \ge f^{(n)}(x_0)\,. Ολοκληρώνοντας n φορές αποδεικνύεται ότι για κάποιες σταθερές Α, Β, ... C με Α>0 ισχύει f(x) \ge Ax^n + Bx^{n-1} + ... +C.
Διαιρώντας με το x^n\, και παίρνοντας όριο στο άπειρο, καταλήγουμε από την υπόθεση στο άτοπο 0 = Α.

β) Μένει ότι δεν υπάρχει x_0\,που από κει και πέρα η f^{(n+1)}\, διατηρεί το πρόσημό της. Από αυτό εύκολα βλέπουμε ότι η f^{(n+1)}\, αλλάζει πρόσημο άπειρες φορές (αλλιώς από την τελευταία και πέρα θα διατηρούσε το πρόσημό της).

γ) Από Fermat και το β) βλέπουμε ότι η f^{(n+2)}\, μηδενίζεται άπειρες φορές (από μία τουλάχιστον ανάμεσα σε δύο μηδενισμούς της f^{(n+1)}\,.)

δ) Όμοια η f^{(n+3)}\, μηδενίζεται άπειρες φορές, και ούτω καθ ' εξής.

Δείξαμε δηλαδή ότι για κάθε m>n η f^{(m)}\, μηδενίζεται τουλάχιστον μία φορά (ακριβέστερα, άπειρες φορές).


Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 1 επισκέπτης