Παράγωγοι μιας άπειρες φορές παραγωγίσιμης

Καραδήμας · #1

Δίνεται $f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ άπειρες φορές παραγωγίσιμη, τέτοια που $\displaystyle{\lim_{x\to \pm\infty }\frac{f(x)}{x^n}=0}$ για κάποιο $n=0,1,2,\ldots$ . Να δειχτεί ότι για κάθε k>n

η $f^{(k)}$ έχει ρίζα.

#2

Καραδήμας έγραψε:Δίνεται $f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ άπειρες φορές παραγωγίσιμη, τέτοια που $\displaystyle{\lim_{x\to \pm\infty }\frac{f(x)}{x^n}=0}$ για κάποιο $n=0,1,2,\ldots$ . Να δειχτεί ότι για κάθε η $f^{(k)}$ έχει ρίζα.

Τα κύρια βήματα της ωραίας αυτής άσκησης:

α) Για την $f^{(n+1)}\,$ συμβαίνει ένα από τα δύο: Είτε υπάρχει $x_0\,$ που από κει και πέρα διατηρεί το πρόσημό της, είτε όχι.
Στη πρώτη περίπτωση (χωρίς βλάβη το πρόσημο είναι θετικό) η $f^{(n)}\,$ είναι γνήσια αύξουσα από το $x_0 \,$ και πέρα, $f^{(n)}(x) \ge f^{(n)}(x_0)\,$ . Ολοκληρώνοντας n φορές αποδεικνύεται ότι για κάποιες σταθερές Α, Β, ... C με Α>0 ισχύει $f(x) \ge Ax^n + Bx^{n-1} + ... +C$ .
Διαιρώντας με το $x^n\,$ και παίρνοντας όριο στο άπειρο, καταλήγουμε από την υπόθεση στο άτοπο 0 = Α.

β) Μένει ότι δεν υπάρχει $x_0\,$ που από κει και πέρα η $f^{(n+1)}\,$ διατηρεί το πρόσημό της. Από αυτό εύκολα βλέπουμε ότι η $f^{(n+1)}\,$ αλλάζει πρόσημο άπειρες φορές (αλλιώς από την τελευταία και πέρα θα διατηρούσε το πρόσημό της).

γ) Από Fermat και το β) βλέπουμε ότι η $f^{(n+2)}\,$ μηδενίζεται άπειρες φορές (από μία τουλάχιστον ανάμεσα σε δύο μηδενισμούς της $f^{(n+1)}\,$ .)

δ) Όμοια η $f^{(n+3)}\,$ μηδενίζεται άπειρες φορές, και ούτω καθ ' εξής.

Δείξαμε δηλαδή ότι για κάθε m>n η $f^{(m)}\,$ μηδενίζεται τουλάχιστον μία φορά (ακριβέστερα, άπειρες φορές).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Παράγωγοι μιας άπειρες φορές παραγωγίσιμης

Παράγωγοι μιας άπειρες φορές παραγωγίσιμης

Re: Παράγωγοι μιας άπειρες φορές παραγωγίσιμης

Μέλη σε σύνδεση