Ολοκλήρωμα

mostel · #1

Μια άσκηση που με παίδεψε αρκετά... Να υπολογιστεί το:

$\displaystyle{\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}$

Ίσως υπάρχει κάτι προφανές που δεν το είδα εξ' αρχής.

mathxl · #2

Δεν νομίζω ότι είναι αυτό που θες, αλλά ποστάρω μία λύση
$\displaystyle{\begin{array}{l} I = \int {\frac{1}{{1 + \sqrt x + \sqrt {x + 1} }}dx} = \int {\frac{{1 + \sqrt x - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {1 + \sqrt x } \right)^2 - \left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2 }}dx} = \int {\frac{{1 + \sqrt x - \sqrt {x + 1} }}{{2\sqrt x }}dx = } \\ = \int {\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{x + 1}}{x}} } \right)dx = } \sqrt x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\int {\sqrt {1 + \frac{1}{x}} dx} \\ \end{array}}$ τώρα εάν θέσεις $\displaystyle{\sqrt {1 + \frac{1}{x}} = u,dx = - \frac{{2u}}{{\left( {u^2 - 1} \right)^2 }}du}$ και κάνεις ανάλυση σε απλά κλάσματα (πράγμα κουραστικό) τελείωσες

mathxl · #3

Το τελευταίο ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int {\sqrt {1 + \frac{1}{x}} dx} }$ υπολογίζεται πιο εύκολα αλλά εκτός σχολικής ύλης εάν θέσουμε $\displaystyle{x = \varepsilon \phi ^2 t}$

Ιστοσελίδα · #4

Το ολοκλήρωμα το προσέγγισα ως εξής:
Θέτω αρχικά $\sqrt x = u$ οπότε έχουμε dx = 2udu
Και το αρχικό ολοκλήρωμα Ι μετασχηματίζεται:
$I = \int {\frac{{2u}}{{1 + u + \sqrt {u^2 + 1} }}du}$

Στην συνέχεια ξαναθέτω $\sqrt {u^2 + 1} = t - u$
Από όπου προκύπτει:
$u = \frac{{t^2 - 1}}{{2t}}$ , $\sqrt {u^2 + 1} = \frac{{t^2 + 1}}{{2t}}$ και $du = \frac{{t^2 + 1}}{{2t^2 }}dt$
Και το ολοκλήρωμα γίνεται
$\int {\frac{{2\frac{{t^2 - 1}}{{2t}}}}{{1 + \frac{{t^2 - 1}}{{2t}} + \frac{{t^2 + 1}}{{2t}}}} \cdot \frac{{t^2 + 1}}{{2t^2 }}dt}$
που μετά από πράξεις με το ενδεχόμενο να έχω κάνει λάθος να είναι σχεδόν βέβαιο
έχουμε:
$\int {(\frac{1}{2} - \frac{1}{{2t}} + \frac{1}{{2t^2 }} - \frac{1}{{2t^3 }})dt}$ που εύκολα υπολογίζεται.

Ίσως με τριγωνομετρική αντικατάσταση βγει ευκολότερα, θα το κοιτάξω και αν το καταφέρω τα ξαναλέμε……

iolis · #5

Αυτό βγάζει ο online integrator του Mathematica

mostel · #6

Ακριβώς γι' αυτό το λόγο το έβαλα στο AEI thread. Η λύση μου είναι πάνω-κάτω ίδια με του mathxl, αλλά για να 'μαι ειλικρινής, ευελπιστούσα ότι θα υπήρχε ένας συντομότερος τρόπος.... Οποιεσδήποτε ιδέες καλοδεχούμενες

Στέλιος

mathxl · #7

Στέλιο δεν πρόσεξα ότι ήταν στο ΑΕΙ, οπότε δες και αυτό με την εφαπτομένη στο τετράγωνο
$\displaystyle{\begin{array}{l} I = \sqrt x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{\eta \mu t}} \cdot \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu ^2 t}}dt = } \sqrt x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\varepsilon \varphi t \cdot \frac{1}{{\eta \mu t}} - \frac{1}{2}\int {\varepsilon \varphi t \cdot \frac{{\sigma \upsilon \nu t}}{{\eta \mu ^2 t}}dt = } \\ = \sqrt x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{{2\sigma \upsilon \nu t}} - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{\eta \mu t}}dt = } \sqrt x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{{2\sigma \upsilon \nu t}} - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{2\eta \mu \frac{t}{2} \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{t}{2}}}dt = } \\ = \sqrt x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{{2\sigma \upsilon \nu \left( {\tau o\xi \varepsilon \phi \sqrt x } \right)}} - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{2\varepsilon \phi \frac{t}{2} \cdot \sigma \upsilon \nu ^2 \frac{t}{2}}}dt = } \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} = \sqrt x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{{2\sigma \upsilon \nu \left( {\tau o\xi \varepsilon \phi \sqrt x } \right)}} - \frac{1}{2}\ln \left| {\varepsilon \phi \frac{t}{2}} \right| + c = \\ = \sqrt x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{{2\sigma \upsilon \nu \left( {\tau o\xi \varepsilon \phi \sqrt x } \right)}} - \frac{1}{2}\ln \left| {\varepsilon \phi \left( {\frac{{\tau o\xi \varepsilon \phi \sqrt x }}{2}} \right)} \right| + c \\ \end{array}}$

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση