Σημείο καμπής

#1

ΑΣΚΗΣΗ"Έστωσαν μία συνάρτηση $f\,:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ , δύο φορές παραγωγίσιμη καί ένα σημείο $x_0\in{\cal{D}}(f)$ στό οποίο $f^{\prime\prime}(x_0)=0$ . Άν υπάρχει περιοχή $\left({\alpha,\,x_0}\right)\cup\left({x_0,\,\beta}\right)$ τού x_0

στήν οποία η παράγωγος $f^{\prime}$ διατηρεί τό ίδιο πρόσημο, νά εξετασθεί άν τό σημείο x_0

είναι πάντοτε σημείο καμπής.

ΛΥΣΗ-ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ:
Η συνάρτηση $f(x)=\left\lbrace{\begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{6}\left({{\rm{Ci}}\left({\textstyle-\frac{1}{x}}\right)+4x^3+x^2\,\sigma\upsilon\nu{\textstyle\frac{1}{x}}+\left({2x^3-x}\right)\eta\mu{\textstyle\frac{1}{x}}}\right)\hspace{0.1cm}, & x<0\vspace{0.2cm} \\ 0\hspace{0.1cm}, & x=0\vspace{0.2cm} \\ \displaystyle\frac{1}{6}\left({{\rm{Ci}}\left({\textstyle\frac{1}{x}}\right)+4x^3+x^2\,\sigma\upsilon\nu{\textstyle\frac{1}{x}}+\left({2x^3-x}\right)\eta\mu{\textstyle\frac{1}{x}}}\right)\hspace{0.1cm}, & x>0 \end{array}}\right.$ , είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σέ όλο τό $\mathbb{R}$ μέ

$f^{\prime}(x)=\left\lbrace{\begin{array}{ll} x^2\left({2+\eta\mu{\textstyle\frac{1}{x}}}\right)\hspace{0.1cm}, & x\neq0\vspace{0.2cm} \\ 0\hspace{0.1cm}, & x=0 \end{array}}\right.$ , η οποία είναι συνεχής σέ όλο τό $\mathbb{R}$ καί θετική στό $\mathbb{R}^{*}$ .

Η $f^{\prime\prime}(x)=\left\lbrace{\begin{array}{ll} 4x+2x\,\eta\mu{\textstyle\frac{1}{x}}-\sigma\upsilon\nu{\textstyle\frac{1}{x}}\hspace{0.1cm}, & x\neq0\vspace{0.2cm} \\ 0\hspace{0.1cm}, & x=0 \end{array}}\right.$ δέν είναι συνεχής στό x=0

καί μάλιστα γιά τίς ακολουθίες $x_{\nu}=\displaystyle\frac{1}{2\nu\pi}$ , $\nu\in\mathbb{N}$ καί $y_{\nu}=\displaystyle\frac{1}{2\nu\pi-\pi}$ , $\nu\in\mathbb{N}$ , ισχύουν:

$\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}x_{\nu}=\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}y_{\nu}=0$ καί $\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{f^{\prime\prime}(x_{\nu})}=-1$ καί $\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{f^{\prime\prime}(y_{\nu})}=1$ .

Επομένως σέ κάθε περιοχή $\left({x_0,\,\beta}\right)$ τού

η $f^{\prime\prime}$ έχει καί θετικές καί αρνητικές τιμές. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι καί σέ κάθε περιοχή $\left({\alpha,\,x_0}\right)$ τού

η $f^{\prime\prime}$ έχει καί θετικές καί αρνητικές τιμές. Προφανώς τό σημείο x=0

δέν είναι σημείο καμπής τής

. $\square$

ΕΡΩΤΗΣΗ: Άν η συνάρτηση

θεωρηθεί μέ συνεχή δεύτερη παράγωγο, τότε υπάρχει αντιπαράδειγμα;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Ναί, η συνάρτηση

$f(x)=\left\lbrace{\begin{array}{ll} \frac{1}{120}\left({48x^5+x^2\,\left({6x^2-1}\right)\,\sigma\upsilon\nu{\textstyle\frac{1}{x}}+ x\,\left({24x^4-2x^2+1}\right)\eta\mu{\textstyle\frac{1}{x}}-{\rm{Ci}}\left({-\textstyle\frac{1}{x}}\right)}\right)\hspace{0.1cm}, & x<0\vspace{0.2cm} \\ 0\hspace{0.1cm}, & x=0\vspace{0.2cm} \\ \frac{1}{120}\left({48x^5+x^2\,\left({6x^2-1}\right)\,\sigma\upsilon\nu{\textstyle\frac{1}{x}}+ x\,\left({24x^4-2x^2+1}\right)\eta\mu{\textstyle\frac{1}{x}}-{\rm{Ci}}\left({\textstyle\frac{1}{x}}\right)}\right)\hspace{0.1cm}, & x>0 \end{array}}\right.$ ,

είναι τουλάχιστον δύο φορές παραγωγίσιμη μέ συνεχείς τήν πρώτη καί δεύτερη παράγωγο σέ όλο τό $\mathbb{R}$ .

$f^{\prime}(x)=\left\lbrace{\begin{array}{ll} x^4\left({2+\eta\mu{\textstyle\frac{1}{x}}}\right)\hspace{0.1cm}, & x\neq0\vspace{0.2cm} \\ 0\hspace{0.1cm}, & x=0 \end{array}}\right.$ , η οποία είναι θετική στό $\mathbb{R}^{*}$ .

Η $f^{\prime\prime}(x)=\left\lbrace{\begin{array}{ll} 4x^3\left({2+\eta\mu{\textstyle\frac{1}{x}}}\right)-x^2\,\sigma\upsilon\nu{\textstyle\frac{1}{x}}\hspace{0.1cm}, & x\neq0\vspace{0.2cm} \\ 0\hspace{0.1cm}, & x=0 \end{array}}\right.$ είναι συνεχής στό x=0

αλλά γιά τίς ακολουθίες $x_{\nu}=\displaystyle\frac{1}{2\nu\pi}$ , $\nu\in\mathbb{N}$ καί $y_{\nu}=\displaystyle\frac{1}{2\nu\pi-\pi}$ , $\nu\in\mathbb{N}$ , ισχύουν:

$\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}x_{\nu}=\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}y_{\nu}=0$ καί $f^{\prime\prime}(x_{\nu})=\displaystyle\frac{-\nu\pi+4}{4\nu^3\pi^3}<0$ , γιά κάθε $\nu>1$ καί $f^{\prime\prime}(y_{\nu})=\displaystyle\frac{2\nu\pi-\pi+8}{(2\nu-1)^3\,\pi^3}>0$ , γιά κάθε $\nu\in\mathbb{N}$ .

Επομένως σέ κάθε περιοχή $\left({x_0,\,\beta}\right)$ τού

η $f^{\prime\prime}$ έχει καί θετικές καί αρνητικές τιμές. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι καί σέ κάθε περιοχή $\left({\alpha,\,x_0}\right)$ τού

η $f^{\prime\prime}$ έχει καί θετικές καί αρνητικές τιμές. Προφανώς τό σημείο x=0

δέν είναι σημείο καμπής τής

. $\square$

Παρατηρήσεις: 1. Η πρόταση νά εξετασθεί μιά παράγουσα τής συνάρτησης $g(x)=x^2\left({2+\eta\mu{\textstyle\frac{1}{x}}}\right)$ , $x\neq0$ , είναι τού Ν. Μαυρογιάννη.

2. ${\rm{Ci}}(x)=\gamma+\ln{x}+\displaystyle\int_{0}^{x}{\frac{\sigma\upsilon\nu{t}-1}{t}\,dt}$ , $x\in\left(0,+\infty\right)$ , $\gamma$ η σταθερά Euler

.

3. Όλες οί συναρτήσεις $f_{\kappa}:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ , $\kappa\in\mathbb{N}$ , μέ παράγωγο $f^{\prime}_{\kappa}(x)=\left\lbrace{\begin{array}{l} x^{2\kappa}\left({2+\eta\mu{\textstyle\frac{1}{x}}}\right)\hspace{0.1cm},\hspace{0.3cm}x\neq0\vspace{0.2cm} \\ 0\hspace{0.1cm},\hspace{2.5cm}x=0 \end{array}}\right.$ καί ορισμένες σέ μία περιοχή τού

πρέπει νά είναι αντιπαραδείγματα τής άσκησης.

4. Όταν $\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{x_0}}{h(x)}=h(x_0)=0$ και η

δέν διατηρεί πρόσημο δεξιά καί αριστερά τού x_0

, δέν σημαίνει ότι υπάρχει περιοχή $\left({\alpha,\,x_0}\right)\cup\left({x_0,\,\beta}\right)$ όπου είναι θετική στό $\left({\alpha,\,x_0}\right)$ καί αρνητική στό $\left({x_0,\,\beta}\right)$ , ή αντιστρόφως. Μπορεί, όπως φαίνεται γιά τήν $f^{\prime\prime}$ στό δεύτερο αντιπαράδειγμα, νά παίρνει θετικές καί αρνητικές τιμές σέ κάθε περιοχή $\left({\alpha,\,x_0}\right)$ καί θετικές καί αρνητικές τιμές σέ κάθε περιοχή $\left({x_0,\,\beta}\right)$ .

Σημείο καμπής

Σημείο καμπής

Μέλη σε σύνδεση