απλή άσκηση μιγαδικής ανάλυσης

Nazgul · #1

Να βρεθεί η παράμετρος

ώστε η συνάρτηση $f(z)=e^x [\cos (kx)+i\sin (ky)]$ να είναι ολόμορφη.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Εφαρμόζοντας τις συνθήκες Cauchy-Riemann, εφόσον το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της

έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους, καταλήγω σε αυτές τις σχέσεις (αν δεν κάνω λάθος) αλλά δεν ξέρω πώς να προχωρήσω...

$\cos (kx) - k \sin(kx) = k \cos(ky)$

$\sin ky = 0$

Συγγνώμη αν το ποστ ξεφεύγει από το πνεύμα των προχωρημένων προβλημάτων που βλέπω στο φόρουμ. Ζητάω απλά μία βοήθεια γιατί έχω κολλήσει.

kostas_zervos · #2

Nazgul έγραψε:Να βρεθεί η παράμετρος ώστε η συνάρτηση $f(z)=e^x [\cos (kx)+i\sin (ky)]$ να είναι ολόμορφη.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Εφαρμόζοντας τις συνθήκες Cauchy-Riemann, εφόσον το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους, καταλήγω σε αυτές τις σχέσεις (αν δεν κάνω λάθος) αλλά δεν ξέρω πώς να προχωρήσω...

$\cos (kx) - k \sin(kx) = k \cos(ky)$
$k \cos(ky) = -\sin(ky)$

Συγγνώμη αν το ποστ ξεφεύγει από το πνεύμα των προχωρημένων προβλημάτων που βλέπω στο φόρουμ. Ζητάω απλά μία βοήθεια γιατί έχω κολλήσει.

Εννοείς $x,y,k\in\mathbb{R}$ ....

Αν k=0

τότε η πρώτη δίνει $\cos 0=0$ ΑΤΟΠΟ.

Αν $k\neq 0$ , τότε για $x=y=\dfrac{\pi}{k}$ έχουμε

Από την 1η: $\cos \pi-k\sin \pi=k\cos \pi\iff k=1$ και από τη 2η $k\cos \pi=-\sin \pi\iff k=0$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα δεν υπάρχει τιμή του $k\in\mathbb{R}$ .... Μήπως $k\in\mathbb{C}$ ;

Nazgul · #3

Ευχαριστώ για τη σωστή απάντηση. Είχα κάνει λάθος στη 2η σχέση, η οποία είναι $\sin ky = 0$ .

απλή άσκηση μιγαδικής ανάλυσης

απλή άσκηση μιγαδικής ανάλυσης

Re: απλή άσκηση μιιγαδικής ανάλυσης

Re: απλή άσκηση μιιγαδικής ανάλυσης

Μέλη σε σύνδεση