Συνθήκη Lipschitz

jacob · #1

Χαίρετε! Θα ήθελα να ρωτήσω μια απορία που μου προέκυψε πρόσφατα σε μια εργασία μαθήματος: Λέμε ότι μια συνάρτηση f πληροί τη συνθήκη Lipschitz αν για μια νόρμα ισχύει: $||f(x)-f(y)|| \leq L||x-y|| , L>0$ για κάθε x,y σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Ακόμη η f καλείται συστολική αν 0<L<1. To ερώτημά μου είναι το εξής: Αν η f είναι συστολική μπορώ να βγάλω κάποιο συμπέρασμα για την παραγωγισιμότητα της f ( δηλαδή, αν είναι η f παραγωγίσιμη); Το αντίστροφο πρόβλημα (δηλαδή f παραγωγίσιμη (με |f'(x)|<1) $\Rightarrow$ η f είναι συστολική) το έχω λύσει, αλλά το ορθό είναι που με προβληματίζει... Ευχαριστώ!

#2

ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ: Άν γιά τήν μή-σταθερή συνάρτηση

καί γιά κάθε $\varepsilon>0$ , ισχύει:

$({L-\varepsilon})\left|{x-y}\right|<\left|{f(x)-f(y)}\right|\leq{L}\left|{x-y}\right|$ , γιά κάθε $x,\,y$ , μέ 0<L<1

,

τότε αυτή δέν είναι παντού παραγωγίσιμη.

edit[10:36] τελική μορφή ισχυρισμού. Συγγνώμη γιά τίς διαφοροποιήσεις!

#3

'Ενα απλό παράδειγμα είναι η $f\left( x\right) =\frac{1}{2}\left| x\right|$
Είναι $\left| f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{2}\right) \right| =\left| \frac{1}{2}\left| x_{1}\right| -\frac{1}{2}\left| x_{2}\right| \right| =\frac{1}{2}\left| \left| x_{1}\right| -\left| x_{2}\right| \right| \leq \frac{1}{2}\left| x_{1}-x_{2}\right|$
Η

δεν είναι παραγωγίσιμη.
Μαυρογιάννης

#4

grigkost έγραψε:ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ: Άν γιά τήν μή-σταθερή συνάρτηση καί γιά κάθε $\varepsilon>0$ , ισχύει:

$({L-\varepsilon})\left|{x-y}\right|<\left|{f(x)-f(y)}\right|\leq{L}\left|{x-y}\right|$ , γιά κάθε $x,\,y$ , μέ ,

τότε αυτή δέν είναι παντού παραγωγίσιμη.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω ότι η μή-σταθερή συνάρτηση

είναι παντού παραγωγίσιμη. Τότε γιά κάθε $\rho$ , ισχύει $\left|{f^{\prime}({\rho})}\right|>0$ καί από τό Θεώρημα Μέσης Τιμής γιά τήν

στό διάστημα $\left[{x,\,y}\right]$ προκύπτει ότι υπάρχει $\rho\in\left({x,\,y}\right)$ , τέτοιο ώστε $\left|{f^{\prime}({\rho})}\right|=\left|{\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}}\right|$ .
Όμως τότε, γιά κάθε $\varepsilon>0$ , ισχύει: $L-\varepsilon<\left|{f^{\prime}({\rho})}\right|\leq{L}$ .

Γιά $\varepsilon=L-2\left|{f^{\prime}({\rho})}\right|$ , προκύπτει $2\left|{f^{\prime}({\rho})}\right|=L-\left({L-2\left|{f^{\prime}({\rho})}\right|}\right) <\left|{f^{\prime}({\rho})}\right|\leq{L}$ . Άτοπο. $\square$

Jeronymo Simonstone · #5

jacob έγραψε:Χαίρετε! Θα ήθελα να ρωτήσω μια απορία που μου προέκυψε πρόσφατα σε μια εργασία μαθήματος: Λέμε ότι μια συνάρτηση f πληροί τη συνθήκη Lipschitz αν για μια νόρμα ισχύει: $||f(x)-f(y)|| \leq L||x-y|| , L>0$ για κάθε x,y σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Ακόμη η f καλείται συστολική αν 0<L<1. To ερώτημά μου είναι το εξής: Αν η f είναι συστολική μπορώ να βγάλω κάποιο συμπέρασμα για την παραγωγισιμότητα της f ( δηλαδή, αν είναι η f παραγωγίσιμη); Το αντίστροφο πρόβλημα (δηλαδή f παραγωγίσιμη (με |f'(x)|<1) $\Rightarrow$ η f είναι συστολική) το έχω λύσει, αλλά το ορθό είναι που με προβληματίζει... Ευχαριστώ!

Είναι γνωστό αποτέλεσμα της πραγματικής ανάλυσης πως κάθε συνάρτηση Lipschitz είναι παραγωγίσιμη σχεδόν παντού στο πεδίο ορiσμού της, δηλαδή παντού εκτός από ένα σύνολο μηδενικού μέτρου Lebesgue.

Συνθήκη Lipschitz

Συνθήκη Lipschitz

Re: Συνθήκη Lipschitz

Re: Συνθήκη Lipschitz

Re: Συνθήκη Lipschitz

Re: Συνθήκη Lipschitz

Μέλη σε σύνδεση