σύγκλιση ακολουθίας!

algal · #1

Έστω ότι: $\lim_{n\rightarrow \infty }(2x_{n+1}-x_n)=l$ όπου

κάποιος πραγματικός αριθμός. Να δείξετε ότι η x_n

συγκλίνει και ότι το όριο της είναι το

.
Με αυτά τα δεδομένα να ελέγξτε αν $\lim_{n\rightarrow \infty }(kx_{n+1}-x_n)=l$ για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό

.

#2

Ισχύει η ακόλουθη πρόταση:
Αν μια ακολουθία (a_n)

συγκλίνει στο $a\in\mathbb{R}$ και η (b_n)

είναι ακολουθία μη αρνητικών αριθμών με $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}(b_1+b_2+...+b_n)=+\infty}$ τότε $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{b_1a_1+b_2a_2+...+b_na_n}{b_1+b_2+...+b_n}=a.}$

Εφαρμόζουμε την πρόταση για τις ακολουθίες $a_n=2x_{n+1}-x_n$ και $b_n=2^{n-1}$ και προκύπτει ότι $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{2^nx_{n+1}-x_1}{2^n-1}=l}$ οπότε εύκολα $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n=l.}$

Με αυτά τα δεδομένα $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }(kx_{n+1}-x_n)=l(k-1).}$

Άρα $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }(kx_{n+1}-x_n)=l}$ μόνο όταν k=2

ή όταν

#3

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το λήμμα Cesàro-Stolz με a_n = 2^n x_n,b_n = 2^n

. Η εφαρμογή είναι ουσιαστικά άμεση και δίνει ότι το όριο ισούται με $\ell$ .

Γ.-Σ. Σμυρλής · #4

Ἰσχύει διά κάθε k>1

πραγματικό. Θέτομε b_n=k^n

, ὁπότε $\lim x_n=l/(k-1)$ .

algal · #5

Η αλήθεια είναι ότι δεν γνώριζα την πρόταση που αναφέρεται στη λύση του κύριου Μαραγκουδάκη.
Συμφωνώ στο λήμμα stolz που είναι μια ωραία ιδέα για τη λύση.
Όταν αντιμετώπισα προσωπικά το πρόβλημα αυτό, έφτασα στη λύση με τη βοήθεια απλά του ορισμού της σύγκλισης, βέβαια η διαδικασία που ακολούθησα είναι πιο επίπονη. Όμως οι παραπάνω ιδέες είναι προφανώς πιο κομψές!!!

Γ.-Σ. Σμυρλής · #6

Ἐν τέλει, ἡ συνεπαγωγή ἰσχύει ὅταν |k|>1

, $k\in\mathbb C$ . (Ὑπὀδειξη. Ἀρκεῖ νά ἐξετασθεῖ ἡ περίπτωση $\ell=0$ .)

σύγκλιση ακολουθίας!

σύγκλιση ακολουθίας!

Re: σύγκλιση ακολουθίας!

Re: σύγκλιση ακολουθίας!

Re: σύγκλιση ακολουθίας!

Re: σύγκλιση ακολουθίας!

Re: σύγκλιση ακολουθίας!

Μέλη σε σύνδεση