Αναδρομική ακολουθία (4)

#1

Έστω η ακολουθία x_n

με $\displaystyle{x_{n+1}=x_ne^{-x_n^2/4}}$ και x_0=1

. Ας υπολογισθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}x_n}$ .

kwstas12345 · #2

Ευκολα βλέπουμε πως η ακολουθία μας είναι γνισίως φθίνουσα , και επειδή είναι θετικών όρων θα συγκλίνει στην ρίζα της $\displaystyle x=xe^{-x^2 /4}\Rightarrow x=0$ , άρα $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} x_{n}=0$ .Όμως επειδή $\displaystyle e^x =1+x+\frac{x^2}{2}+O\left(x^3 \right)\Rightarrow x_{n+1}=x_{n}\left(1-\frac{x_{n}^2}{4}+\frac{x_{n}^4}{32}+O\left(x_{n}^6 \right) \right)$ .

Άρα θα είναι $\displaystyle x_{n+1}^a =x_{n}^a \left(1-\frac{x_{n}^2}{4}+\frac{x_{n}^4}{32} +O\left(x_{n}^6 \right)\right)^a =$ $\displaystyle x_{n}^a -\frac{ax_{n}^{2+a}}{4}+\frac{a^2x_{n}^{4+a}}{32}+O\left(x_{n}^{6+a} \right)$ .

Για a=-2

βρίσκουμε $\displaystyle x_{n+1}^{-2} -x_{n}^{-2}=\frac{1}{2}+\frac{x_{n}^2}{8}+O\left(x_{n}^4 \right)\Rightarrow \lim\left(x_{n}^{-2}-x_{n}^{-2} \right)=1/2$ .Άρα από Cezaro-Stolz: $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{nx_{n}^2} \right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(x_{n+1}^{-2}-x_{n}^{-2} \right)=\frac{1}{2}$ .Άρα θα είναι $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{n}x_{n}=\sqrt{2}.$

Αναδρομική ακολουθία (4)

Αναδρομική ακολουθία (4)

Re: Αναδρομική ακολουθία (4)

Μέλη σε σύνδεση