Γενικευμένο ολοκλήρωμα

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
$\displaystyle \int\limits_3^4 {\frac{{xdx}}{{\sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {4 - x} \right)} }}}$

#2

7*π/2

mathxl · #3

Μια άλλη αντιμετώπιση
$\begin{array}{l} \displastyle \int\limits_3^4 {\frac{{xdx}}{{\sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {4 - x} \right)} }}} = \int\limits_3^4 {\frac{{xdx}}{{\sqrt { - {x^2} + 7x - 12} }}} = - \int\limits_3^4 {\frac{{ - 2xdx}}{{2\sqrt { - {x^2} + 7x - 12} }}} = \\ =\displaystyle - \int\limits_3^4 {\left( {\frac{{ - 2x + 7}}{{2\sqrt { - {x^2} + 7x - 12} }} - \frac{7}{{2\sqrt { - {x^2} + 7x - 12} }}} \right)dx} = \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} \displaystyle = - \left[ {\sqrt { - {x^2} + 7x - 12} } \right]_3^4 + \frac{7}{2}\int\limits_3^4 {\frac{1}{{\sqrt { - 12 - \left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{7}{2}x + \frac{{49}}{4}} \right) + \frac{{49}}{4}} }}} dx = \\ = \frac{7}{2}\int\limits_3^4 {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{4} - {{\left( {x - \frac{7}{2}} \right)}^2}} }}} dx\mathop = \limits^{x - \frac{7}{2} = \frac{1}{2}u} \frac{7}{2}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{\sqrt {1 - {u^2}} }}} du = \frac{7}{2}\left[ {\mathop {\lim }\limits_{u \to {1^ - }} \arcsin u - \mathop {\lim }\limits_{u \to - {1^ + }} \arcsin u} \right] = \\ \displaystyle = \frac{7}{2}\left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{7\pi }}{2} \\ \end{array}$

Θα ήθελα να δω και μία αντιμετώπιση με θεωρία υπολοίπων

Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση