Θέμα 48

ghan · #1

Ν’ αποδειχθεί ότι $\displaystyle\displaystyle\left| \ln \left( x+1 \right)-x \right|\le {{x}^{2}}$ , $\left( \left| x \right|\le \frac{1}{2} \right)$ .

#2

ghan έγραψε:Ν’ αποδειχθεί ότι $\displaystyle\displaystyle\left| \ln \left( x+1 \right)-x \right|\le {{x}^{2}}$ , $\left( \left| x \right|\le \frac{1}{2} \right)$ .

Καταρχάς, είναι $\displaystyle{\ln (x+1)\leq x,}$ για κάθε $\displaystyle{x>-1}$ (π.χ. από την εφαρμογή του σχολικού βιβλίου).

Άρα θα αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{x-\ln (x+1)\leq x^2}$ και μάλιστα για όλα τα $\displaystyle{x\geq -\frac12.}$

Πράγματι, η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^2-x+\ln (x+1), \quad x>-\frac12}$ έχει

$\displaystyle{f'(x)=...=\frac{x(2x+1)}{x+1}.}$ Άρα η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει στο $\displaystyle{0}$ ολικό ελάχιστο το $\displaystyle{f(0)=0.}$

ghan · #3

Είναι: $\displaystyle\left| \ln \left( x+1 \right)-x \right|\le \sum\limits_{\nu =2}^{\infty }{\frac{{{\left| x \right|}^{\nu }}}{\nu }}\le \frac{1}{2}\sum\limits_{\nu =2}^{\infty }{{{\left| x \right|}^{\nu }}}=\frac{1}{2}\frac{{{x}^{2}}}{1-\left| x \right|}\le \frac{{{x}^{2}}}{2\left( 1-\frac{1}{2} \right)}={{x}^{2}}$ .

Θέμα 48

Θέμα 48

Re: Θέμα 48

Re: Θέμα 48

Μέλη σε σύνδεση