ΜΙΑ ΜΕ ΘΜΤ

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Απάντηση
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1551
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

ΜΙΑ ΜΕ ΘΜΤ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Φεβ 02, 2012 4:28 pm

Να αποδείξετε ότι \forall x>0 ισχύει ότι

x^{x}a^{a}2^{a+x}>(a+x)^{a+x} με 0<a<x


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Λέξεις Κλειδιά:
ανισότητα
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: ΜΙΑ ΜΕ ΘΜΤ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Φεβ 02, 2012 5:27 pm

Η συνάρτηση f(x) = x\log{x} για x είναι αυστηρώς κυρτή στο (0,\infty) αφού f''(x) = 1/x. Άρα από την ανισότητα Jensen, αφού a\neq x έχουμε \displaystyle{ \frac{f(a) + f(x)}{2} > f\left( \frac{a+x}{2}\right)} το οποίο είναι ισοδύναμο με το ζητούμενο.


Κορυφή
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1551
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: ΜΙΑ ΜΕ ΘΜΤ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Φεβ 02, 2012 5:32 pm

Σωστά.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες