Επεκτάσεις και περιορισμοί

#1

Από Εθνική Ολυμπιάδα της Ρουμανίας στην προτελευταία τάξη του Λυκείου (!)

α) Έστω $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ μία συνάρτηση γνησίως μονότονη και επί. Να αποδειχθεί ότι έχει μοναδική συνεχή επέκταση στο

$\mathbb{R}$

β) Να βρεθεί συνάρτηση $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , η οποία δεν είναι 1-1, ο περιορισμός της στο $\mathbb{Q}$ είναι 1-1 και

$g\left(\mathbb{Q}\right) \subset \mathbb{Q}$

#2

s.kap έγραψε:Από Εθνική Ολυμπιάδα της Ρουμανίας στην προτελευταία τάξη του Λυκείου (!)

α) Έστω $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ μία συνάρτηση γνησίως μονότονη και επί. Να αποδειχθεί ότι έχει μοναδική συνεχή επέκταση στο

$\mathbb{R}$

β) Να βρεθεί συνάρτηση $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , η οποία δεν είναι 1-1, ο περιορισμός της στο $\mathbb{Q}$ είναι 1-1 και

$g\left(\mathbb{Q}\right) \subset \mathbb{Q}$

α) Χωρίς βλάβη η

είναι αύξουσα.

Έστω $x\in \mathbb R$ και έστω (p_n)

αύξουσα ακολουθία ρητών με $p_n \to x$ . Η f(p_n)

είναι αύξουσα και φραγμένη (ένα φράγμα είναι το f(P)

όπου

ρητός μεγαλύτερος από όλα τα p_n

). Άρα συγκλίνει. Θα δείξουμε ότι το όριο είναι ανεξάρτητο της ακολουθίας που επιλέξαμε: Αν (q_n)

(άλλη) αύξουσα ακολουθία ρητών με $q_n \to x$ . Κατασκευάζουμε μία νέα ακολουθία (r_n)

που αποτελείται από τα $p_n, \, q_n$ τοποθετημένα σε νέα αλλά αύξουσα ακολουθία (απλό). Τότε οι $(f(p_n)), \, (f(q_n))$ είναι υπακολουθίες της συγκλίνουσας (f(r_n))

, άρα συγκλίνουν στο ίδιο όριο. Ονομάζουμε f(x)

το κοινό όριο. Αυτή είναι η επέκταση.

Είναι απλό να δούμε οτι η

είναι αύξουσα (αν x<y

τότε οι όροι των ρητών που συγκλίνουν στο

είναι μικρότεροι, τελικά, από τους αντίστοιχους στο

). Θα δείξουμε ότι είναι συνεχής.

Έστω πρώτα $x_n\to x$ γνήσια αύξουσα. Όπως πριν η f(x_n)

συγκλίνει. Παίρνοντας οποιαδήποτε ακολουθία (p_n)

ρητών με

, έχουμε $f(x_1) \le f(p_1) \le f(x_2) \le ...$ . Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι οι $( f(x_n)), \, (f(p_n))$ συγκλίνουν και μάλιστα τα δύο όρια είναι κοινά, άρα συγκλίνουν στο f(x)

, όπως θέλαμε.

Όμοια για $x_n\to x$ γνήσια φθίνουσα. Γενικότερα, ισχύει για $x_n\to x$ χωρίς περιορισμούς γιατί μπορούμε πρώτα να βρούμε γνήσια μονότονη υπακολουθία της. Η υπακολουθία αυτή έχει την ζητούμενη ιδιότητα $f(x_n{'}) \to f(x)$ και με χρήση της εύκολα καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα για την δοθείσα. Αυτό τελειώνει την απόδειξη.

β) g(x) = x+1

αν $x\ge 0$ ρητός, g(x) = x-1

αν

ρητός και

αλλιώς.

Φιλικά,

Μιχάλης

Επεκτάσεις και περιορισμοί

Επεκτάσεις και περιορισμοί

Re: Επεκτάσεις και περιορισμοί

Μέλη σε σύνδεση