Σχεδόν ομοιόμορφη σύγκλιση σειράς

#1

Νά αποδειχθεί ότι η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{nx}{\left({n^4+x^2}\right)^2}}$ συγκλίνει σχεδόν ομοιόμορφα στό $\mathbb{R}$ .

paulgai · #2

Αρχικά παρατηρούμε ότι οι συναρτήσεις $f_{n}(x)= \displaystyle\frac{nx}{(n^{4}+x^{2})^{2}}$ είναι περιττές
άρα οι $\left | f_{n}(x) \right |$ είναι άρτιες. Οι $f_{n}(x)$ παρουσιάζουν ολικό μέγιστο στο
x $_{max}=n^{2}/ \sqrt{3}$ και ολικό ελάχιστο στο $x_{min}=-n^{2}/ \sqrt{3}$ , επομένως θα έχουμε:

$\left | f_{n}(x) \right |\leq \left | f_{n}\left (\displaystyle \frac{n^{2}}{\sqrt{3}} \right ) \right |=\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{16n^{5}}$

Όμως

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{16n^{5}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{16}\zeta \left ( 5 \right )<\infty$

Άρα η ακολουθία συναρτήσεων $\left | f_{n}(x) \right |$ φράσσεται από ακολουθία πραγματικών
που η αντίστοιχη σειρά της συγκλίνει, επομένως η $\sum f_{n}(x)$ συγκλίνει ομοιόμορφα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Δεν χρειάζονται παραγωγίσεις και τέτοια.
$\left | \dfrac{nx}{n^{4}+x^{2}} \right |\leq \frac{1}{2}\dfrac{\left | 2nx \right |}{n^{2}+x^{2}}\dfrac{1}{n^{2}+x^{2}}\leq \frac{1}{2}\frac{1}{n^{2}}$

Εφαρμόζουμε το κριτήριο του Weirstrass και έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση αφού
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}< +\infty$

Σχεδόν ομοιόμορφη σύγκλιση σειράς

Σχεδόν ομοιόμορφη σύγκλιση σειράς

Re: Σχεδόν ομοιόμορφη σύγκλιση σειράς

Re: Σχεδόν ομοιόμορφη σύγκλιση σειράς

Μέλη σε σύνδεση