Όριο με παράγωγο Γ.

Ωmega Man · #1

Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\bf \lim_{t\to0}\left(t^{2}\frac{\partial}{\partial t}\left[\int\limits_{0}^{+\infty}y^{t-1}e^{-y}\;dy\right]\right)}$ , αν $\displaystyle{\bf\mathfrak{Re}(t)>0}$ .

#2

Για κάθε $\displaystyle{t \in C}$ με $\displaystyle{{\text{Re}}\left( t \right) > 0}$ έχουμε $\displaystyle{\int\limits_0^\infty {{x^{t - 1}}{e^{ - x}}dx} = \Gamma \left( t \right)}$ . Όμως (τύπος του Weierstrass) $\displaystyle{\frac{1}{{\Gamma \left( z \right)}} = z \cdot {e^{\gamma \cdot z}}\prod\limits_{n = 1}^\infty {\left( {1 + \frac{z}{n}} \right){e^{ - z/n}}} }$ .

Τότε $\displaystyle{ - \ln \Gamma \left( z \right) = \ln z + \gamma z + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\ln \left( {1 + \frac{z}{n}} \right) - \frac{z}{n}} \right)} \Rightarrow - \frac{{{\Gamma {'}}\left( z \right)}}{{\Gamma \left( z \right)}} = \frac{1}{z} + \gamma + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{{n + z}} - \frac{1}{n}} \right)} }$ , επομένως

$\displaystyle{ - \frac{{{\Gamma {'}}\left( z \right)}}{{\Gamma \left( z \right)}} = \frac{1}{z} + \gamma - z\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n\left( {n + z} \right)}}} \Rightarrow {z^2}{\Gamma {'}}\left( z \right) = - {z^2}\Gamma \left( z \right)\left( {\frac{1}{z} + \gamma - z\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n\left( {n + z} \right)}}} } \right) = - z\Gamma \left( z \right)\left( {1 + \gamma z - {z^2}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n\left( {n + z} \right)}}} } \right)}$

Τελικά για κάθε $\displaystyle{t \in C}$ με $\displaystyle{{\text{Re}}\left( t \right) > 0}$ έχουμε $\displaystyle{{t^2}\frac{\partial }{{\partial t}}\int\limits_0^\infty {{x^{t - 1}}{e^{ - x}}dx} = - \Gamma \left( {1 + t} \right)\left( {1 + \gamma t - {t^2}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n\left( {n + t} \right)}}} } \right)}$

οπότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {{t^2}\frac{\partial }{{\partial t}}\int\limits_0^\infty {{x^{t - 1}}{e^{ - x}}dx} } \right) = - \Gamma \left( 1 \right) = - 1}$ .

Ωmega Man · #3

Σεραφείμ ωραία αλλά πήρες τον μακρυσκελή και δύσκολο (διδακτικό όμως) δρόμο.

$\displaystyle{\bf\Gamma(t+1)=t\Gamma(t)}$ , απ´όπου $\displaystyle{\bf\Gamma(t)=\frac{\Gamma(t+1)}{t}}$ ,
παραγωγίζοντας έχουμε $\displaystyle{\bf\Gamma'(t)=\frac{t\Gamma'(t+1)-\Gamma(t+1)}{t^2}}$ , απ´όπου
$\displaystyle{\bf t^2\Gamma'(t)=t\Gamma'(t+1)-\Gamma(t+1)}$ . Εμείς θέλουμε το όριο,

$\displaystyle{\bf\lim_{t\to 0}t^{2}\Gamma'(t)=\lim_{t\to0}\left(t\Gamma'(t+1)-\Gamma(t+1)\right)=-\Gamma(1)=-1}$ .

#4

Ωmega Man έγραψε:Σεραφείμ ωραία αλλά πήρες τον μακρυσκελή και δύσκολο (διδακτικό όμως) δρόμο.

Όντως .. δεν βαριέσαι, από τέτοια .. άλλο τίποτα ..

Όριο με παράγωγο Γ.

Όριο με παράγωγο Γ.

Re: Όριο με παράγωγο Γ.

Re: Όριο με παράγωγο Γ.

Re: Όριο με παράγωγο Γ.

Μέλη σε σύνδεση