Οχι...Lipschitz

S.E.Louridas · #1

Θεωρούμε:
$f:\left( {0,1} \right] \to \mathbb{R},\;f\left( x \right) = x^k \sin \frac{1} {x},\;o\pi o\upsilon \;k \in \left( {1,2} \right).$
Ας επεκταθεί η f συνεχώς στην θέση 0 και ας υπολογιστεί ο k, ώστε η εν λόγω επέκταση να είναι παντού διαφορίσιμη και να μην ικανοποιεί την συνθήκη του Lipschitz.

S.E.Louridas

#2

S.E.Louridas έγραψε:Θεωρούμε:
$f:\left( {0,1} \right] \to \mathbb{R},\;f\left( x \right) = x^k \sin \frac{1} {x},\;o\pi o\upsilon \;k \in \left( {1,2} \right).$
Ας επεκταθεί η f συνεχώς στην θέση 0 και ας υπολογιστεί ο k, ώστε η εν λόγω επέκταση να είναι παντού διαφορίσιμη και να μην ικανοποιεί την συνθήκη του Lipschitz.

S.E.Louridas

ΤΗν επεκτείνουμε συνεχώς στο

αφού στο υπόλοιπό διάστημα δεν έχει πρόβλημα. Για $k\in(1,2)$ είναι $0\leq|x^{k}\sin(1/x)|\leq |x^k|\stackrel{x\to0+}{\longrightarrow}0$ , άρα θέτουμε $f_{k}(0)=0$ . (Το παραπάνω ισχύει και για κάθε k>0

.)

Ακόμα $\displaystyle{\left|\frac{x^{k}\sin(1/x)-0}{x-0}\right|=|x^{k-1}\sin(1/x)|\leq |x^{k-1}|\stackrel{x\to0+}{\longrightarrow}0}$ , οπότε η συνεχής επέκταση είναι και παραγωγίσιμη στο

. (Στο υπόλοιπο διάστημα είμαστε οκ)

Μέχρι εδώ με την τιμή που δώσαμε καλύπτουμε τις δυο απαιτήσεις για κάθε

στο δοθέν διάστημα.

Για την τρίτη απαίτηση, χρησιμοποιούμε το ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι Lipschitz συνεχής αν και μόνο αν έχει φραγμένη παράγωγο. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα με το θεώρημα μέσης τιμής και το έχουμε ξανασυζητήσει.

Τώρα η επιλογή του

ώστε να έχουμε μη φραγμένη παράγωγο πάλι δεν είναι μοναδική. Πάλι καλύπτεται και η τρίτη συνθήκη για κάθε $k\in(1,2)$ , αφού για $x\in(0,1]$ είναι $(x^k\sin(1/x)){'}=kx^{k-1}\sin(1/x)-x^{k-2}\cos(1/x)$ και για τις ακολουθίες $x_{n}=(2n\pi)^{-1}$ και $y_{n}=(2n\pi+\pi/2)^{-1}$ έχουμε αντίστοιχα τα όρια $-\infty$ και

για κάθε $k\in(1,2)$ .

Οχι...Lipschitz

Οχι...Lipschitz

Re: Οχι...Lipschitz

Μέλη σε σύνδεση