Μια διαφορική ζητάει λύση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Μια διαφορική ζητάει λύση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Κυρ Μάιος 24, 2009 6:13 pm

καλησπέρα
Μου ζητήθηκε να λύσω τη διαφορική εξίσωση
\alpha\cdot f(x) - {\left( {f^{\prime\prime}(x)} \right)^2} = 0, \quad \alpha>0
Δεν γνωρίζω πως λύνεται.
Ευχαριστώ Θωμάς


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2850
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μια διαφορική ζητάει λύση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Μάιος 24, 2009 7:09 pm

Μία σύντομη επίλυση η οποία θά συμπληρωθεί ( καί ίσως διορθωθεί όσον αφορά τά πρόσημα) ,λόγω μαθήματος, αργότερα:

Θέτωντας z=y^{\prime}\quad\Rightarrow\quad y^{\prime\prime}=z\,\dfrac{dz}{dy}, η εξίσωση \alpha\,y-\left({y^{\prime\prime}}\right)^2=0\,, \quad \alpha>0 (1) γίνεται

\alpha\,y-\left({z\,\dfrac{dz}{dy}}\right)^2=0\quad\Leftrightarrow\quad\alpha\,y-z^2\,\left({\dfrac{dz}{dy}}\right)^2=0\quad\Leftrightarrow\quad z\,\dfrac{dz}{dy}=\pm\sqrt{\alpha\,y}\quad\Leftrightarrow

\displaystyle\int{z\,dz}=\pm\int{\sqrt{\alpha\,y}\,dy}\quad\Leftrightarrow\quad\displaystyle\frac{z^2}{2}=\pm\frac{2}{3}\,y\,\sqrt{\alpha\,y}+c_1\quad\Leftrightarrow\quad\displaystyle{z}=\sqrt{\pm\frac{4}{3}\,y\,\sqrt{\alpha\,y}+2c_1}\quad\Leftrightarrow

\displaystyle{y^{\prime}}=\sqrt{\pm\frac{4}{3}\,y\,\sqrt{\alpha\,y}+2c_1}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2231
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μια διαφορική ζητάει λύση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Μάιος 24, 2009 8:02 pm

Νομίζω ὀτι η λύση θέλει αρκετή δουλειά ακόμα.
Εκεί που μπαίνει το \pm θα έπρεπε να ξέρουμε κατά πόσον ηz\frac{dz}{dy} διατηρεί πρόσημο ή όχι και σε ποια διαστήματα, έπειτα αν η ay\ge 0 και ακόμη η γνώση αρχικών τιμών ορίζει αν το τελικό ολοκλήρωμα είναι υπολογίσιμο η όχι, Φυσικά αυτά είναι απόρροιες της μη γραμμικότητας


Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μια διαφορική ζητάει λύση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Δευ Μάιος 25, 2009 12:44 am

Γρηγόρη, ιδιαίτερες ευχαριστίες.
Θωμάς


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης