Μια διαφορική ζητάει λύση

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

καλησπέρα
Μου ζητήθηκε να λύσω τη διαφορική εξίσωση
$\alpha\cdot f(x) - {\left( {f^{\prime\prime}(x)} \right)^2} = 0, \quad \alpha>0$
Δεν γνωρίζω πως λύνεται.
Ευχαριστώ Θωμάς

#2

Μία σύντομη επίλυση η οποία θά συμπληρωθεί ( καί ίσως διορθωθεί όσον αφορά τά πρόσημα) ,λόγω μαθήματος, αργότερα:

Θέτωντας $z=y^{\prime}\quad\Rightarrow\quad y^{\prime\prime}=z\,\dfrac{dz}{dy}$ , η εξίσωση $\alpha\,y-\left({y^{\prime\prime}}\right)^2=0\,, \quad \alpha>0$ (1) γίνεται

$\alpha\,y-\left({z\,\dfrac{dz}{dy}}\right)^2=0\quad\Leftrightarrow\quad\alpha\,y-z^2\,\left({\dfrac{dz}{dy}}\right)^2=0\quad\Leftrightarrow\quad z\,\dfrac{dz}{dy}=\pm\sqrt{\alpha\,y}\quad\Leftrightarrow$

$\displaystyle\int{z\,dz}=\pm\int{\sqrt{\alpha\,y}\,dy}\quad\Leftrightarrow\quad\displaystyle\frac{z^2}{2}=\pm\frac{2}{3}\,y\,\sqrt{\alpha\,y}+c_1\quad\Leftrightarrow\quad\displaystyle{z}=\sqrt{\pm\frac{4}{3}\,y\,\sqrt{\alpha\,y}+2c_1}\quad\Leftrightarrow$

$\displaystyle{y^{\prime}}=\sqrt{\pm\frac{4}{3}\,y\,\sqrt{\alpha\,y}+2c_1}$

#3

Νομίζω ὀτι η λύση θέλει αρκετή δουλειά ακόμα.
Εκεί που μπαίνει το $\pm$ θα έπρεπε να ξέρουμε κατά πόσον η $z\frac{dz}{dy}$ διατηρεί πρόσημο ή όχι και σε ποια διαστήματα, έπειτα αν η $ay\ge 0$ και ακόμη η γνώση αρχικών τιμών ορίζει αν το τελικό ολοκλήρωμα είναι υπολογίσιμο η όχι, Φυσικά αυτά είναι απόρροιες της μη γραμμικότητας

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #4

Γρηγόρη, ιδιαίτερες ευχαριστίες.
Θωμάς

Μια διαφορική ζητάει λύση

Μια διαφορική ζητάει λύση

Re: Μια διαφορική ζητάει λύση

Re: Μια διαφορική ζητάει λύση

Re: Μια διαφορική ζητάει λύση

Μέλη σε σύνδεση