ΔΕ

nonlinear · #1

Να βρείτε τις λύσεις της ακόλουθης Διαφορικής Εξίσωσης :

$\displaystyle{y'(x) = {6^{{{\log }_{36}}\left( {9 \cdot {y^2}\left( x \right)} \right)}}}$

Νικος Αντωνόπουλος · #2

Μια προσπάθεια για στοιχειώδη λύση. Προφανώς η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο και τελικά μετά απο λίγες πράξεις προκυπτει ότι η μορφή της θα είναι y(x)=c $e^{-3x}$ , c>0, ή y(x)=c $e^{3x}$ , c<0 ;

#3

Το δεύτερο μέλος της εξίσωσης γράφεται:
$6^{log_{36}\left(9.y^2(x) \right)}=6^{\frac{log_{6}(9.y^2\left(x \right))}{log_{6}36}}=\\=6^{\frac{log_{6}(9.y^2(x))}{2}}=[6^{log_{6}(9.(y^2(x))}]^\frac{1}{2}=\left(9.y^2(x) \right)^\frac{1}{2}=3.\left|y(x) \right|$
Άρα η εξίσωση γίνεται:
$y'(x)=3.\left|y(x) \right|\ \ (1)$

Η συνάρτηση y(x) ως παραγωγίσιμη θα είναι στο πεδίο ορισμού της και συνεχής
και επειδή λογαριθμείται το τετράγωνό της άρα θα είναι διάφορη του μηδενός
στο πεδίο ορισμού της.
Για τούτο θα έχουμε δύο περιπτώσεις:
1η) y(x)>0, για όλα τα χ του πεδίου ορισμού της
2η) y(x)<0, για όλα τα χ του πεδίου ορισμού της.

Έτσι στην πρώτη περίπτωση η (1) γίνεται:
$\frac{y'(x)}{y(x)}=3\Rightarrow (ln(y(x)))'=3\Rightarrow ln(y(x))=3x+c$
Δηλαδή:
$y(x)=e^{3x+c}$

Όμοια στη δεύτερη περίπτωση είναι:
$y(x)=-e^{-3x+c}$

Νικος Αντωνόπουλος · #4

Ο δαίμονας της πληκτρολόγησης χτύπησε. Στη λύση μου έχω ανάποδα τα πρόσημα στις σταθερές.

ΔΕ

ΔΕ

Re: ΔΕ

Re: ΔΕ

Re: ΔΕ

Μέλη σε σύνδεση