γενικευμενο ολοκληρωμα

χρηστος ευαγγελινος · #1

να υπολογιστει το γενικευμενο ολοκληρωμα

$\int_{0}^{1}{\frac{x-1}{\ln x}dx}$

Ιστοσελίδα · #2

Xρήστο το μηδέν δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης;

χρηστος ευαγγελινος · #3

εννοεις της ολοκληρωτεας? οχι,αφου το ln του 0 δεν οριζεται.

mathxl · #4

νομίζω η απάντηση είναι
$\displaystyle{\begin{array}{l} f\left( \alpha \right) = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^\alpha } - 1}}{{\ln x}}dx} ,\alpha > 0 \\ f^{\prime}\left( \alpha \right) = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^\alpha }\ln x}}{{\ln x}}dx} = \left[ {\frac{1}{{\alpha + 1}}{x^{\alpha + 1}}} \right]_0^1 = \frac{1}{{\alpha + 1}} \\ f\left( \alpha \right) = \ln \left( {\alpha + 1} \right) \\ I = f\left( 1 \right) = \ln 2 \\ \end{array}}$
Κάτι τέτοιο είχα δει στο mathlinks νομίζω

#5

mathxl έγραψε:νομίζω η απάντηση είναι
$f\left( \alpha \right) = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^\alpha } - 1}}{{\ln x}}dx} ,\alpha > 0 \\ f^{\prime}\left( \alpha \right) = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^\alpha }\ln x}}{{\ln x}}dx} = \left[ {\frac{1}{{\alpha + 1}}{x^{\alpha + 1}}} \right]_0^1 = \frac{1}{{\alpha + 1}} \\ f\left( \alpha \right) = \ln \left( {\alpha + 1} \right) \\ I = f\left( 1 \right) = \ln 2 \\ \end{array}$
Κάτι τέτοιο είχα δει στο mathlinks νομίζω

χρηστος ευαγγελινος · #6

ναι αυτη ειναι η πολυ ωραια λυση,και χωρις πολλες πραξεις.η αλλη λυση ειναι η εξης

θετω $\ln x=-s$ οποτε το ολοκλήρωμα γράφεται $\int_0^{\infty}\frac{e^{-s}-e^{-2s}}{s}\, ds$ . Αλλά είναι $\frac{e^{-s}-e^{2s}}{s}=\int_1^2e^{-sx}\, dx$ . αντικαθιστουμε και με τη βοηθεια του θεωρηματος fubini παιρνουμε: $\int_1^2\int_0^\infty e^{-sx}\,ds\,dx=\int_1^2\frac{dx}{x}=\ln 2$ .

.

mathxl · #7

Ευχαριστώ Φωτεινή για την διόρθωση της "αγαπημένης" μου παραγώγου

, βρήκα που το είχα ξαναδεί http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=270863

γενικευμενο ολοκληρωμα

γενικευμενο ολοκληρωμα

Re: γενικευμενο ολοκληρωμα

Re: γενικευμενο ολοκληρωμα

Re: γενικευμενο ολοκληρωμα

Re: γενικευμενο ολοκληρωμα

Re: γενικευμενο ολοκληρωμα

Re: γενικευμενο ολοκληρωμα

Μέλη σε σύνδεση