ομοιόμορφη (;) σύγκλιση σειράς

#1

Νά εξετασθεί άν συγκλίνει σχεδόν ομοιόμορφα η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{({-1})^{n+1}}{n}\,\sin({n\pi{x}})}\,,\quad{x}\in\mathbb{R}$ .

#2

grigkost έγραψε:ομοιόμορφη (;) σύγκλιση σειράς $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{({-1})^{n+1}}{n}\,\sin({n\pi{x}})}\,,\quad{x}\in\mathbb{R}$ .

ΔΕΝ το έχω αποδείξει αλλά το εντόπισα: (Απειροστικός τόμος ΙΙβ Νεγρεπόντης-Γιαννακούλιας-Γιωτόπουλος σελ.698)
Είναι : $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{({-1})^{n+1}}{n}\,\sin({n\pi{x}})}= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\pi x}{2},\,\,\,\, 0\leq x<1 \\ 0,\,\,\,\,x=1 \\ \frac{\pi(x-2)}{2}, \,\,\,\,1<x\leq2 \end{array} \right.$
Άρα η σύκγλιση δεν μπορεί να είναι ομοιόμορφη στο $\mathbb{R}$ τουλάχιστον..
Δε γκζέρω αν βοηθάει κάπου..

dement · #3

Προφανως για x = 1

το αθροισμα ειναι

.

Για

θεωρουμε τη συναρτηση $f: \mathbb{C} - \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{C}$ με $f(z) = - \frac{\pi \sin(x \pi z)}{z \sin (\pi z)}$ . Αυτη εχει απλο πολο σε καθε $n \in \mathbb{Z}$ με $Res(n) = \frac{(-1)^{n+1} \sin(n \pi x)}{n}$ για $n \neq 0$ και $Res(0) = - \pi x$ .

Υπολογιζουμε τα ολοκληρωματα $I_n = \displaystyle \oint_{C_n} f(z) dz$ , οπου το C_n

ειναι το τετραγωνο με κεντρο το

και πλευρα μηκους $(2n+1) \pi$ .

Διαπιστωνουμε οτι, για καθε C_n

, το μετρο της παραστασης $\frac{\sin(xz)}{\sin z}$ ειναι απολυτως φραγμενο επι του C_n

για

(συγκεκριμενα, φρασσεται ανω απο εναν ορο της ταξης του $e^{-(1-x)n}$ ). Κατα συνεπεια, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0 \Longrightarrow Res(0) + 2 \sum_{n=1}^{\infty} Res(n) = 0 \Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \sin(n \pi x)}{n} = \frac{\pi x}{2}$ . Οι υπολοιπες τιμες του $x \ ( |x| > 1)$ καλυπτονται απο την περιοδικοτητα.

Λογω του φραγματος του $\frac{\sin(xz)}{\sin z}$ στο C_n

διαπιστωνουμε (απο κριτηριο Weierstrass) οτι το αθροισμα μας συγκλινει ομοιομορφα σε οποιοδηποτε συνολο δεν εχει σημειο συσσωρευσης καποιον $n \in 2\mathbb{Z} + 1$ . Επισης, οπως ειπε και ο Τασος, λογω μη συνεχειας, το αθροισμα μας δε συγκλινει ομοιομορφα σε κανενα αλλο συνολο.

Δημητρης Σκουτερης

#4

Νομίζω πως η απάντηση είναι όχι: Έστω

ένα σύνολο με $\mu(B) < 1$ ώστε η σειρά να συγκλίνει ομοιόμορφα στο $\mathbb{R} \setminus B$ .

Έστω $\varepsilon > 0$ . Αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο $\mathbb{R} \setminus B$ υπάρχει $N \in \mathbb{N}$ , ώστε για κάθε $n \geqslant N$ έχουμε $\displaystyle \left| \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k} \sin(k \pi x) - f(x)\right| < \epsilon$ , όπου f(x)

η συνάρτηση που μας έδωσε ο Αναστάσιος.

Παίρνω $\displaystyle x \in \left(\bigcup_{r=1}^{\infty} (2r - \varepsilon/N\pi, 2r) \right) \cap \left( \mathbb{R} \setminus B\right)$ . (Το οποίο είναι μη κενό αφού έχει άπειρο μέτρο.)

Για αυτό το χ, έχουμε $|\sin(k \pi x)| \leqslant |\sin(k \varepsilon/N)| \leqslant k \varepsilon/N$ , άρα $\displaystyle \left| \sum_{k=1}^N \frac{(-1)^k}{k} \sin(k \pi x)\right| < \epsilon$ . Αλλά $f(x) \geqslant \pi/2 - \varepsilon/2N \geqslant (\pi - \varepsilon)/2$ .

Αν ε αρκετά μικρό, αυτό είναι άτοπο.

Αυτό που νομίζω ότι ισχύει είναι ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε κλειστό διάστημα που δεν περιέχει κανένα περιττό ακέραιο.

(Από ότι είδα με πρόλαβε ο Δημήτρης.)

#5

Δεδομένου ότι ισχύει ο τύπος $f(x):=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}(x)=\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{({-1})^{n+1}}{n}\,\sin({n\pi{x}})}= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\pi x}{2},\,\,\,\, 0\leq x<1 \\ 0,\,\,\,\,x=1 \\ \frac{\pi(x-2)}{2}, \,\,\,\,1<x\leq2 \end{array} \right.$ , ότι η

είναι περιττή με περίοδο 2 και ότι ισχύει το εξής θεώρημα :
Έστω $f_{n}\stackrel{\kappa.\sigma.}{\longrightarrow}f$ στο [a,b]

και $f_{n}$ συνεχείς για κάθε

. Τότε η

είναι συνεχής $\Leftrightarrow$ $f_{n}\to f$ σχεδόν ομοιόμορφα,
έπεται ότι η $\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{({-1})^{n+1}}{n}\,\sin({n\pi{x}})}$ συγκλίνει σχεδόν ομοιόμορφα (ειδικότερα ομοιόμορφα) σε κάθε διάστημα της μορφής [2k-1+r,2k+1-r]

, όπου $k\in\mathbb{Z}$ , r>0

οσοδήποτε μικρό, ή σχεδόν ομοιόμορφα στο $\mathbb{R}$ .

Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να λειτουργήσει ως κριτήριο για τη σχεδόν ομοιόμορφη σύγκλιση (αρκεί να έχει εντοπίσει κανείς τη συνάρτηση όριο...

)

#6

Μία ακόμα προσέγγιση:

Η συνάρτηση $f({x})=\left\{{\begin{array}{lc} x-2\left\lfloor\dfrac{x-1}{2}\right\rfloor-2\,,&2k-1<{x}<2k+1\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0\,,& x=2k+1 \end{array}}\right.,\,{k}\in\mathbb{Z}$ είναι

-περιοδική καί περιττή καί η σειρά Fourier τής

είναι η $\displaystyle\frac{2}{\pi}\,\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{({-1})^{n+1}}{n}\,\sin({n\pi{x}})}$ .

Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη σέ κάθε διάστημα $\left({2k-1,\,2k+1}\right)\,, {k}\in\mathbb{Z}$ , καί τά $f_{+}^{\prime}({2k-1})$ , $f_{-}^{\prime}({2k+1})\,, {k}\in\mathbb{Z}$ , υπάρχουν. Επομένως είναι ομαλή κατά τμήματα καί επειδή η

είναι φραγμένη καί συνεχής σέ κάθε διάστημα $\left({2k-1,\,2k+1}\right)$ η σειρά Fourier τής

συγκλίνει ομοιόμορφα στήν

σέ κάθε τέτοιο διάστημα.
Άλλά καί γιά $x=2k+1\,, {k}\in\mathbb{Z}$ , η σειρά μηδενίζεται καί επομένως συγκλίνει στήν

. Εξ αιτίας τής ασυνέχειας τής

στά $x=2k+1\,, {k}\in\mathbb{Z}$ , προκύπτει ότι η σειρά $\displaystyle\frac{2}{\pi}\,\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{({-1})^{n+1}}{n}\,\sin({n\pi{x}})}$ - άρα καί η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{({-1})^{n+1}}{n}\,\sin({n\pi{x}})}$ - συγκλίνει σχεδόν ομοιόμορφα στό $\mathbb{R}$ .

Υ.Γ. Αυτό πού μέ ενδιέφερε ήταν η απόδειξη τής σχεδόν ομοιόμορφης σύγκλισης, μέ τό κριτήριο Cauchy:

$\left({\forall\,\varepsilon>0}\right)\left({\exists\,N_{\varepsilon}>0}\right)\left({\forall\,n>N_{\varepsilon}}\right)\left({\forall\,m\in\mathbb{N}}\right)\left({\forall\,x\in\left({2k-1,\,2k+1}\right),\,{k}\in\mathbb{Z}}\right)\quad\Rightarrow$

$\left|{\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=n+1}^{n+m}{\frac{({-1})^{k+1}}{k}\,\sin({k\pi{x}})}}\right|<\varepsilon$ ,

αλλά ακόμα καί έτσι ήσαν πολύ ενδιαφέροντα όσα γράφτηκαν επί τού θέματος.

ομοιόμορφη (;) σύγκλιση σειράς

ομοιόμορφη (;) σύγκλιση σειράς

Re: ομοιόμορφη (;) σύγκλιση σειράς

Re: ομοιόμορφη (;) σύγκλιση σειράς

Re: ομοιόμορφη (;) σύγκλιση σειράς

Re: ομοιόμορφη (;) σύγκλιση σειράς

Re: ομοιόμορφη (;) σύγκλιση σειράς

Μέλη σε σύνδεση