Μετασχηματισμός κύκλου σε κύκλο!

Ωmega Man · #1

Δίνεται στο z-επίπεδο κύκλος με κέντρο το i και ακτίνα 3. Να βρεθεί η απεικόνιση στο w-επίπεδο του κύκλου μέσω του μετασχηματισμού $\displaystyle{\bf w=\frac{2z+i}{z+3i}}$ .

Γιώργος Απόκης · #2

Mε $z\ne -3i$ , για τον

ισχύει

(1). Λύνοντας τη δοσμένη σχέση ως προς

έχουμε $\displaystyle{z=\frac{-3wi+i}{w-2},w\ne 2}$ και αντικαθιστώντας στην (1):

$\displaystyle{\left|\frac{-3wi+i}{w-2}-i\right|=3\Leftrightarrow \frac{|3i-4wi|}{|w-2|}=3\Leftrightarrow |3-4w|=3|w-2|}$ (2). Θεωρώ w=x+yi

και από τη (2):

$\displaystyle{|(3-4x)-4yi|=3|(x-2)+yi|\Leftrightarrow (3-4x)^2+(4y)^2=9[(x-2)^2+y^2]\Leftrightarrow x^2+y^2+\frac{12}{7}x-\frac{27}{7}=0}$

που παριστάνει κύκλο με κέντρο $\displaystyle{K\left(-\frac{6}{7},0\right)}$ και ακτίνα $\displaystyle{r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{144}{49}+\frac{108}{7}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{900}{49}}=\frac{15}{7}}$ , o oποίος δε διέρχεται από το σημείο (2,0)

άρα δεν εξαιρούνται σημεία του.

Ωmega Man · #3

Πιο απλά είναι γνωστό ότι ο μετασχηματισμός αυτός στέλνει κύκλους σε κύκλους. Στο -επίπεδο δύο σημεία του κύκλου είναι τα $\displaystyle{\bf 4i}$ και $\displaystyle{\bf -2i}$ . Ο μετασχηματισμός θα τα στείλει στα σημεία του πραγματικού άξονα του -επιπέδου $\bf f(4i)=\frac{9}{7}$ και $\bf f(-2i)=-3$ . Το κέντρο του κύκλου στέλνεται από τον φανταστικό άξονα του επιπέδου στον πραγματικό του -επιπέδου (ειδική περίπτωση μιας και το κέντρο είναι επί του φανταστικού άξονα) και έτσι ο κύκλος έχει διάμετρο $\bf\frac{9}{7}+3=\frac{30}{7}$ , δηλαδή ακτίνα $\bf\frac{15}{7}$ και κέντρο $\bf\left(\frac{9}{7}-\frac{15}{7},0\right)=\left(-\frac{6}{7},0\right)$ .

Μετασχηματισμός κύκλου σε κύκλο!

Μετασχηματισμός κύκλου σε κύκλο!

Re: Μετασχηματισμός κύκλου σε κύκλο!

Re: Μετασχηματισμός κύκλου σε κύκλο!

Μέλη σε σύνδεση