int_0^pi [ lnx / (x+1) dx]

#1

Νά αποδειχθεί, χωρίς τήν χρήση τής διλογαριθμικής συνάρτησης, ότι τό $\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\frac{\ln{x}}{x+1}\,dx}$ συγκλίνει.

#2

Για χ>0 αρκετά μικρό, έχουμε $\displaystyle \frac{|\ln{x}|}{1+x} \leqslant |\ln{x}| \leqslant \frac{1}{\sqrt{x}}$ . (Απόδειξη;)

EDIT: Όπως με πληροφόρησε ο Γρηγόρης, η ανισότητα ισχύει για κάθε $0 < x \leqslant 2$ . Θα βάλω μια απόδειξη ότι ισχύει για κάθε $0 < x \leqslant 1/2$ . (Η οποία είναι αρκετή για αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε.) Βάζοντας y = 1/x

, αρκεί να δείξω ότι για κάθε $y \geqslant 2$ ισχύει ότι $\ln{y} \leqslant e^{y/2}$ . Έστω $g(y) = e^{y/2} - \ln{y}$ . Τότε $g(2) = e - \ln{2} > 0$ και $\displaystyle g^{\prime}(y) = \frac{e^{y/2}}{2} - \frac{1}{y} \geqslant \frac{e - 1}{2} > 0$ , άρα g αύξουσα στο $[2,+\infty)$ και τελειώσαμε.

Επειδή το $\displaystyle \int_{0}^\pi \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx$ συγκλίνει, τότε και το αρχικό ολοκλήρωμα συγκλίνει. (Αφού $\displaystyle \left| \int_0^{\pi} \frac{\ln{x}}{x+1} \, dx \right| \leqslant \int_{0}^{1/2} \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx + \displaystyle \left| \int_{1/2}^{\pi} \frac{\ln{x}}{x+1} \, dx \right| < \infty$ ).

#3

Αφού ευχαριστήσω τόν Δημήτρη γιά τήν απόδειξη, δίνω παρακάτω καί μία δεύτερη απόδειξη:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\frac{\log{x}}{x+1}\,dx}\,\mathop{=}\limits^{\begin{subarray}{c} {t\,=\,\frac{1}{x}} \\ {-\frac{1}{t^2}\,dt\,=\,dx} \\ \end{subarray}}\,-\int_{+\infty}^{\frac{1}{\pi}}{\frac{-\log{t}}{\frac{1}{t}+1}\,\frac{1}{t^2}\,dt}=-\int_{\frac{1}{\pi}}^{1}{\frac{\log{x}}{x^2+x}\,dx}-\int_{1}^{+\infty}{\frac{\log{x}}{x^2+x}\,dx}$ .

Αρκεί νά συγκλίνει τό $\displaystyle\int_{1}^{+\infty}{\frac{\log{x}}{x^2+x}\,dx}$ αφού τό $\displaystyle\int_{\frac{1}{\pi}}^{1}{\frac{\log{x}}{x^2+x}\,dx}$ είναι ορισμένο ολοκλήρωμα συνεχούς συνάρτησης.

Όμως γιά κάθε $x\in\left[{1,\,+\infty}\right)$ ισχύει: $\displaystyle0\leq\frac{\log{x}}{x^2+x}<\frac{\log{x}}{x^2}$ καί τό $\displaystyle\int_{1}^{+\infty}{\frac{\log{x}}{x^2}\,dx}$ από τήν (*)

συγκλίνει. Άρα καί τό $\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\frac{\log{x}}{x+1}\,dx}$ συγκλίνει. $\square$

$(*)\ \displaystyle\int_{1}^{+\infty}{\frac{\log{x}}{x^2}\,dx}=\mathop{\lim}\limits_{\beta\rightarrow{+\infty}}\int_{1}^{\beta}{\frac{\log{x}}{x^2}\,dx}=\mathop{\lim}\limits_{\beta\rightarrow{+\infty}}\int_{1}^{\beta}{\left({-\frac{1}{x}}\right)^{\prime}\log{x}\,dx}=$

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\beta\rightarrow{+\infty}}\left[{-\frac{\log{\beta}}{\beta}+\int_{1}^{\beta}{\frac{1}{x^2}\,dx}}\right]=-\mathop{\lim}\limits_{\beta\rightarrow{+\infty}}\frac{\log{\beta}+1}{\beta}+1=1$ .

int_0^pi [ lnx / (x+1) dx]

int_0^pi [ lnx / (x+1) dx]

Re: int_0^pi [ lnx / (x+1) dx]

Re: int_0^pi [ lnx / (x+1) dx]

Μέλη σε σύνδεση