Διαφορικές με αντικατάσταση

Τάσος Φαλάς · #1

Πώς θα λύνατε τις διαφορικές:

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=({x+y})^2}$ , με αντικατάσταση u(x) = y + x

.

$\displaystyle{y^2\,\frac{dy}{dx}+\frac{y^3}{x}=\frac{2}{x^2}}$ , με αντικατάσταση u(x) = y^3

.

#2

Τάσο καλώς όρισες στο mathematica

( όπου γράφουμε τους τύπους με $\rm{\LaTeX}$ ! )

[EDIT: 11:22] Για την 2η εξίσωση: Θέτοντας $z=y^3\quad\Rightarrow\quad\displaystyle{y^2\,\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\,\frac{dz}{dx}}$ η διαφορική εξίσωση $\displaystyle{y^2\,\frac{dy}{dx}+\frac{y^3}{x}=\frac{2}{x^2}}}$ γίνεται $\displaystyle{\frac{dz}{dx}+\frac{3}{x}\,z=\frac{6}{x^2}}$ , η οποία είναι γραμμική πρώτης τάξης και έχει πραγματικές λύσεις τις $z=\dfrac{3x^2+c}{x^3}$ , $c\in\mathbb{R}$ .
Επομένως $y=\dfrac{({3x^2+c})^{1/3}}{x}$ , $c\in\mathbb{R}\,.\quad\square$

#3

Τάσος Φαλάς έγραψε:Πώς θα λύνατε τις διαφορικές:

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=({x+y})^2}$ , με αντικατάσταση .

$\displaystyle{y^2\,\frac{dy}{dx}+\frac{y^3}{x}=\frac{2}{x^2}}$ , με αντικατάσταση .

1) $u=y+x \Rightarrow u ' = y ' +1$ και η εξίσωση γίνεται u ' =1+ u^2

, που είναι απλή (τόξο εφαπτομένης)

2) $u=y^3 \Rightarrow u ' = 3y^2y '$ και η εξίσωση γίνεται $\frac{1}{3}u ' + \frac{u}{x}=\frac{2}{x^2}}$ , άρα x^3 u ' + 3x^2u = 6x

οπότε

, που είναι απλή.

Μ.

Διαφορικές με αντικατάσταση

Διαφορικές με αντικατάσταση

Re: Διαφορικές με αντικατάσταση

Re: Διαφορικές με αντικατάσταση

Μέλη σε σύνδεση