εμβαδον καμπυλης μεσω των παραμετρικων εξισωσεων της

aporiakias · #1

Καλημέρα σας. Για ακόμα μια φορά ζητάω τη γνώμη σας για μια άσκηση.

Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη ( c ) με παραμετρικές εξισώσεις x=asint και y=bsin2t με a διαφορετικό του μηδενός.

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#2

aporiakias έγραψε:
Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη ( c ) με παραμετρικές εξισώσεις x=asint και y=bsin2t με a διαφορετικό του μηδενός.

Καλό είναι να μάθεις να λύνεις μόνος σου ασκήσεις που είναι "εργασία στο σπίτι". Το συγκεκριμένο θέμα αναπτύσσεται επαρκώς σε όλα τα βιβλία Απειροστικού που εξετάζουν το θέμα των παραμετρικών καμπύλων. Χωρίς αυτενέργεια, το φόρουμ θα σου είναι κακή υπηρεσία αλλά θα απαντήσω στο ερώτημά σου κατά παρέκκλιση.

Βασικά έχουμε δύο τρόπους.

α) Παραμετρικά: Σχεδιάζουμε την καμπύλη. Εδώ είναι ένα πλάγιο και συμμετρικό 8, οπότε μας αρκεί να βρούμε το εμβαδόν κάθε φύλλου χωριστά. Ο τύπος που χρησιμοποιούμε είναι "η απόλυτη τιμή" του $\int_{t_0}^{t_1}x(t)dy(t)$ . Στην περίπτωσή μας, για το ένα φύλλο, είναι $\int_0^{\pi}\sin t\cdot 2\cos 2tdt=...= -4/3$ .

Καμιά φορά (όχι στην συγκεκριμένη περίπτωση) το ολοκλήρωμα $\int_{t_0}^{t_1}x(t)dy(t)$ είναι δύσκολο, ενώ είναι ευκολότερο το εξής ίσο του: $\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1}(x(t)dy(t) - y(t)dx(t))$

β) Καρτεσιανά: Μετατρέπουμε όλο το πρόβλημα σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Εδώ η εξίσωση της καμπύλης είναι (την κάνω μόνο στο πρώτο τεταρτημόριο επειδή έχουμε συμμετρία) η εξής (για ευκολία το δείχνω μόνο στην περίπτωση a = b=1)

$y = \sin 2t = 2\sin t\cos t = 2x \sqrt{1-x^2}$ .

Aπό δω και πέρα είναι θέμα ρουτίνας.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Ανδρέας Πούλος · #3

Υποθέτω ότι η τεχνική με καρτεσιανές συντεταγμένες που έδειξε (πολύ συνοπτικά) ο Μιχάλης Λάμπρου είναι πιο κοντά στο επίπεδο των πρωτοετών φοιτητών,
που έχουν πιο πρόσφατες τις τεχνικές του Λυκείου.
Θέλουμε να απαλείψουμε την παράμετρο t.
Από τις αρχικές συνθήκες x = asint, y = 2bsintcost, παίρνουμε τις εξής:

$x^{2}= a^{2}sin^{2}t , y^{2} = 4b^{2}sin^{2}tcos^{2}t$

και με διαίρεση κατά μέλη την σχέση $\frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{4b^{2}cos^{2}t}{a^{2}}$ .
Μένει ακόμα να απαλείψουμε το $cos^{2}t$ .

Αυτό θα γίνει με ένα τέχνασμα. Από την σχέση $x^{2}= a^{2}sin^{2}t$ , προκύπτει η σχέση:
$a^{2} - x^{2} = a^{2}\left(1 - sin^{2}t \right)= a^{2}cos^{2}t$ ,
δηλαδή
$cos^{2}t = \frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2}}$ .

Αυτό μας οδηγεί στην $y^{2} =\frac{x^{2}4b^{2}(a^{2} - x^{2})}{a^{4}}$ με $0 < x \leq a$ , αν θεωρήσουμε τον αριθμό a θετικό.
Η σχέση αυτή έχει μόνο τις μεταβλητές y και x, την οποία μπορούμε να αντιμετωπίσουμε ως συνάρτηση και να υπολογίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν
ως ορισμένο ολοκλήρωμα με τις στοιχειώδεις τεχνικές που μαθαίνουμε στην Γ τάξη του Λυκείου.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

εμβαδον καμπυλης μεσω των παραμετρικων εξισωσεων της

εμβαδον καμπυλης μεσω των παραμετρικων εξισωσεων της

Re: εμβαδον καμπυλης μεσω των παραμετρικων εξισωσεων της

Re: εμβαδον καμπυλης μεσω των παραμετρικων εξισωσεων της

Μέλη σε σύνδεση