ογκος και εμβαδον εκ περιστροφης στο mathematica

[aporiakias]

Γεια σας. Στη σχολη μου κανουμε τωρα στα μαθηματικα τους τυπους για τον ογκο και εμβαδον επιφανειων - στερεων εκ περιστροφης. και θα ηθελα να το δω και στο mathematica ή καπου αλλου για το δω και στην πραξη. Ας πουμε να δω στην πραξη την ασκηση αυτην : να υπολογιστει ο ογκος που προκυπτει απο την περιστροφη της καπυλης x^2+y^2=16 και της ευθειας x+y=4 γυρω απο τον αξονα Ox.

Γενικοτερα θα με βοηθουσαν σχηματα στιν αντιστοιχες υποκατηγοριες του ογκου και του εμβαδου εκ περιστροφης..


Περιμενω συντομα απαντησεις σας

Σας ευχαριστω

[achilleas]

... να υπολογιστει ο ογκος που προκυπτει απο την περιστροφη της καπυλης x^2+y^2=16 και της ευθειας x+y=4 γυρω απο τον αξονα Ox.

Εδώ εφαρμόζουμε τη λεγόμενη washer method.

Το στερεό εκ περιστροφής που προκύπτει είναι το ίδιο αν αφαιρέσουμε ένα κώνο από το "δεξί" ημισφαίριο της σφαίρας .

Το σχέδιο είναι σχετικά απλό και δε χρειάζονται ιδιαίτερα προγράμματα, αφού περιλαμβάνει απλά μια ευθεία κι ένα κύκλο.

Το χωρίο στο -επίπεδο που περιστρέφεται γύρω από τον -άξονα είναι το .

Το ολοκλήρωμα που δίνει τον όγκο είναι



μονάδες όγκου.

Φιλικά,

Αχιλλέας

[aporiakias]

οκ αλλα αυτο θελω να το δω καπου να το καταλαβω σχηματικα

[Ωmega Man]

Δες ένα άλλο παράδειγμα. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται τι γίνεται αν περιστρέψουμε την για κατά γωνία περί τον άξονα ψ.

rev1.gif (21.42 KiB) Προβλήθηκε 7972 φορές

Στην περίπτωση σου απλά περιστρέφεται χωρίο το οποίο προφανώς θα δημιουργεί στερεό το οποίο θα έχει όγκο.

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

τι φοβερά σχηματάκια είναι αυτά ρε συ τζόρτζ!!; Καλά έχεις πολύ σταθερό χέρι....

[Ωmega Man]

διαβήτης!!!!!!

[Ωmega Man]

Ξέχασα να βάλω και την περιστροφή περί των άξονα χ.Μπορείς να υπολογίσεις τον όγκο; Δεν είναι δύσκολο.

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Γιώργο δεν "ανεβάζεις" και τις εντολές στα δύο παραδείγματα για να μην ψάχνω.

Ευχαριστώ,

Λευτέρης

[Ανδρέας Πούλος]

Σε απλούστερα σχήματα ή σε αυτά που μπορούμε (αν και είναι περίπλοκα) να υπολογίσουμε τη θέση του κέντρου βάρους τους, μπορούμε να χρησιμοποιούμε τα θεωρήματα του Πάππου ή θεωρήματα του Gulinόπως είναι γνωστά στην γαλλόφωνη, αλλά και στην αγγλοσαξωνική βιβλιογραφία. Τα παραθέτω στην συνέχεια, όπως είναι δημοσιευμένα στο σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας των Θωμαϊδη, Ξένου, Παντελίδη, Πούλου και Στάμου για την Α και Β Λυκείου, έκδοση ΟΕΔΒ, 1999 και 2000, σελίδες 343, 344.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΑΠΠΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ 13.17
Αν μια επίπεδη γραμμή περιστραφεί πλήρως γύρω από άξονα του επιπέδου της, με τον οποίο δεν έχει κοινά εσωτερικά σημεία, τότε το εμβαδό της επιφάνειας του στερεού που παράγεται από την περιστροφή της γραμμής ισούται με το γινόμενο του μήκους της γραμμής επί το μήκος του κύκλου που διαγράφει το κέντρο βάρους του σχήματος της γραμμής. Συνοπτικά:
Ε = Π.2.π.ρ, (1), όπου Π = μήκος της γραμμής.

ΘΕΩΡΗΜΑ 13.18
Αν ένα επίπεδο σχήμα περιστραφεί πλήρως γύρω από άξονα του επιπέδου του, ο οποίος δεν έχει κοινά εσωτερικά σημεία με το σχήμα, τότε ο όγκος του στερεού που προκύπτει από την περιστροφή ισούται με το γινόμενο του εμβαδού του σχήματος επί το μήκος του κύκλου που διαγράφει το κέντρο βάρους του σχήματος.
Συνοπτικά: V = Ε.2.π.ρ, (2).

Ουσιαστικά η μέθοδος ανάγει τον υπολογισμό εμβαδών και όγκων στην εύρεση του κέντρου βάρους επίπεδων σχημάτων, μια διαδικασία η οποία ήταν σε ευρεία χρήση από τους αρχαίους έλληνες επιστήμονες. Αν θεωρήσουμε το σχήμα ως μια «λεπτή» πλάκα από ομοιογενές υλικό, το κέντρο βάρους είναι το σημείο εκείνο στο οποίο μπορεί να «ισορροπήσει» το σχήμα. Αντίστοιχα, το κέντρο βάρους μιας γραμμής, την οποία θεωρούμε κατασκευασμένη από ομογενές υλικό, είναι ένα σημείο από το οποίο διέρχονται οι φορείς των κατακόρυφων νημάτων με τα οποία κρεμάμε τη γραμμή από διάφορα σημεία της.
Για την περίπτωση ημικυκλίου ακτίνας R, υπολόγισαν ότι το κέντρο βάρους του θα βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας του και σε απόσταση από το κέντρο του ίση με ρ = 2.R / π. Αντικαθιστώντας στους τύπους (1) και (2) τα δεδομένα του εμβαδού ημικυκλίου, της περιμέτρου του και της ακτίνας του κύκλου του κέντρου βάρους του
Ε = π.R^2 / 2, Π = π.R και ρ = 2.R / π, παίρνουμε τους ίδιους τύπους για το εμβαδό και τον όγκο σφαίρας με ακτίνα R:
Ε = 4.π.R^2 και V = (4 / 3).π.R^3.

[Mihalis_Lambrou]

Εδώ εφαρμόζουμε τη λεγόμενη washer method.

’Ελλειπα χθες το βράδυ γιατί είχα να κάνω μία ομιλία 50 χλμ από εδώ που μετεξελίχθηκε σε ... κοτόπουλο Κασμίρ σε υπέροχο Ινδικό εστιατόριο. Ενδιαφέρουσα η συζήτηση εκεί αλλά παρατηρώ ότι έχασα άλλα τόσα ενδιαφέροντα θέματα στο φόρουμ...

Λοιπόν, θέλω να καταθέσω λίγα ιστορικά σχόλια στην washer method που αναφέρει ο Αχιλλέας.

Ήταν γνωστή στον γνωστό Torricelli, μαθητή του Γαλιλαίου, ο οποίος την χρησιμοποιεί για να βρει το όγκο
εκ περιστροφής της ορθογώνιας υπερβολής. Στην ελληνική βιβλιογραφία η μέθοδος αυτή πρωτοκαταγράφτηκε επί Τουρκοκρατίας στο σπουδαίο έργο του Νικηφόρου Θεοτόκη, Στοιχεία Μαθηματικών εκ παλαιών και νέων συνερανισθέντα, έκδοση Μόσχας 1798/99 (βλέπε http://195.134.75.14/hellinomnimon/).

Ο Θεοτόκης την ονόμασε μέθοδο των κελύφων.

Στην αγγλική βιβλιογραφία είναι γνωστή ως washer (που σημαίνει το λαστιχάκι που μπαίνει μεταξύ βίδας και λαμαρίνας) ή cylinder ή (συχνότερα) shell method.

Καλό διάβασμα (του έργου του Θεοτόκη εννοώ).

Φιλικά,

Μιχάλης

[Ωmega Man]

Γιώργο δεν "ανεβάζεις" και τις εντολές στα δύο παραδείγματα για να μην ψάχνω.

Ευχαριστώ,

Λευτέρης

Τα έκανα με την εντολή RevolutionPlot3D. Δες στην βοήθεια θα σου βγάλει ένα κατεβατό.

[Σεραφείμ]

Κάποια σχήματα κι' από μένα στο mathematica, μαζί με τις εντολές σχηματισμού τους ..

ParametricPlot3D[{{(8 + 2.5 Cos[v]) Cos, (8 + 2.5 Cos[v]) Sin,
2.5 Sin[v]}, {2 Sin[v], (3 + 2 Cos[v]) Sin, (3 + 2 Cos[v]) Cos[
u]}}, {u, 0, 2 π}, {v, 0, 2 π}, PlotPoints -> 50, Mesh -> Full,
PlotStyle -> {Green, Red}
][attachment=2]##Toroi.jpg[/attachment]


ParametricPlot3D[{(5 + (v) Cos[u/2] + (π) Sin[v] Sin[u/2]) Cos[
u], (5 + (v) Cos[u/2] + (π) Sin[v] Sin[u/2]) Sin[
u], (π) Sin[v] Cos[u/2] - (v) Sin[u/2]}, {u, 0, 2 π}, {v, -π, π},
PlotPoints -> 70, Mesh -> Full, PlotStyle -> Orange]
[attachment=1]##Mobious.jpg[/attachment]


ParametricPlot3D[{{5 Sin[v/2.5] Cos, 5 Sin[v/2.5] Sin,
5 Cos[v/2.5]}, {2 Sin[v/2.6] Cos[-π/3 + u/1.2],
2 Sin[v/2.6] Sin[-π/3 + u/1.2], 2 Cos[v/2.6]}}, {u, 0, 2 π}, {v, 0,
π}, PlotPoints -> 50, Mesh -> {80, 40}, ColorFunction -> False,
PlotStyle -> Green, Axes -> True]
[attachment=0]##sfaires.jpg[/attachment]

[KDORTSI]

Μπορείς να κατασκευάσεις επιφάνειες εκ περιστροφής με το Maple 12 εξελληνισμένο στους τίτλους μόνο, ως εξής:
Επιλέγουμε: Εργαλεία-Εκπαιδευτικά μαθήματα- Διαφορικός Λογισμός, Μια μεταβλητή- Επιφάνειες εκ περιστροφής. (Σε ξενόγλωσσο: Tools -Tutor- Calculus).Σχήμα πρώτο.
Στη συνέχεια κλείνοντας το παράθυρο Απειροστικός Λογισμός Ι με το κλείσιμο "με επιστροφή" οδηγούμε το σχήμα στην επιφάνεια του Maple, δηλαδή στο σχήμα που επισυνάπτω στο δεύτερο αρχείο που φαίνεται από το οποίο μπορείς να το στολίσεις με διάφορα χρώματα κλπ καθώς επίσης να το αποθηκεύσεις ως εικόνα ή ως δυναμικό αρχείο.
Στο δυναμικό σχήμα που επισυνάπτω μπορείς να αλλάζεις τα δεδομένα και να φτιάξεις τις περιστροφές σου γύρω από τον άξονα χ ή ψ όπως εσύ επιθυμείς.

[aporiakias]

Σε ευχαριστώ πολύ!

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Μετατροπή της πρότασης από greeklish σε ελληνικά.