Ένα όμορφο όριο (4)

#1

Η παρακάτω άσκηση μου φάνηκε εξαιρετικά ενδιαφέρουσα. Τη δίνω σπασμένη σε δυο κομμάτια γιατί κατά τη γνώμη μου παρουσιάζει δυσκολία:

$\displaystyle{1)}$ Έστω $\displaystyle{\omega}$ μια πρωταρχική $\displaystyle{k}$ -οστή ρίζα της μονάδος.

Για $\displaystyle{n\in\mathbb N_{0}}$ , δείξτε ότι $\displaystyle{\sum_{\nu=0}^{k-1}\omega^{\nu\cdot n}=\begin{cases}k & k|n \\ 0 & k\not|n\end{cases}}$ .

$\displaystyle{2)}$ Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^{x}}\sum_{\nu=0}^{+\infty}\frac{x^{\nu\cdot k}}{(\nu\cdot k)!}}$ .

(Γράψτε την ποσότητα μέσα στο όριο, χρησιμοποιώντας το 1) σαν ένα άθροισμα στο οποίο υπεισέρχονται εκθετικά και ρίζες της μονάδας)

#2

Εισαγωγικά.

Έστω η εξίσωση $\displaystyle{{z^k} = 1}$ και $\displaystyle{\omega = {e^{i \cdot \dfrac{{2 \cdot \pi }}{k}}}}$ . Το σύνολο $\displaystyle{\left\{ {1,\omega ,{\omega ^2},..,{\omega ^{k - 1}}} \right\}}$ το συμβολίζουμε με $\displaystyle{{U_k}}$ και είναι το σύνολο των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{{z^k} = 1}$ .

Αν θέσουμε $\displaystyle{{\omega _m} = {\omega ^m}}$ με $\displaystyle{m \in N}$ και $\displaystyle{0 < m < k}$ (προφανώς $\displaystyle{{\omega _m}:}$ ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{{z^k} = 1}$ ), τότε η $\displaystyle{{\omega _m}}$ θα λέγεται πρωταρχική κ-στη ρίζα της μονάδας,

αν $\displaystyle{\omega _m^1,\omega _m^2,..,\omega _m^{k - 1} \ne 1}$ και επειδή $\displaystyle{\omega _m^i \ne \omega _m^j}$ για κάθε $\displaystyle{0 < i < j \leqslant k - 1}$ (σε αντίθετη περίπτωση θα είχαμε $\displaystyle{\omega _m^{\left( {j - i} \right)} = 1}$ άτοπο λόγω πρωταρχικότητας της $\displaystyle{{\omega _m}}$ ),

θα ισχύει $\displaystyle{\left\{ {1,\omega _m^1,\omega _m^2,..,\omega _m^{k - 1}} \right\} = {U_k}}$ .

α)

Αν $\displaystyle{\omega }$ μια κ-στη πρωταρχική ρίζα της μονάδας, τότε όπως είδαμε παραπάνω, το σύνολο $\displaystyle{{U_k} = \left\{ {1,\omega ,{\omega ^2},..,{\omega ^{\kappa - 1}}} \right\}}$ είναι το σύνολο των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{{z^k} = 1}$ ,

επομένως $\displaystyle{\sum\limits_{\nu = 0}^{k - 1} {{\omega ^\nu }} = {\omega ^{k - 1}} + {\omega ^{k - 2}} + {\text{ }}..{\text{ }} + \omega + 1 = 0}$ .

Αν ο $\displaystyle{k}$ διαιρεί τον

θα έχουμε $\displaystyle{n = \lambda \cdot k}$ , οπότε $\displaystyle{\sum\limits_{\nu = 0}^{k - 1} {{\omega ^{\nu \cdot n}}} = \sum\limits_{\nu = 0}^{k - 1} {{\omega ^{\lambda \cdot k \cdot \nu }}} = \sum\limits_{\nu = 0}^{k - 1} {{{\left( {{\omega ^k}} \right)}^{\lambda \cdot \nu }}} = \sum\limits_{\nu = 0}^{k - 1} {\left( 1 \right)} = k}$ .

Αν ο $\displaystyle{k}$ δεν διαιρεί τον

θα έχουμε $\displaystyle{n = \lambda \cdot k + \upsilon }$ με $\displaystyle{0 < \upsilon \leqslant k - 1}$ , οπότε $\displaystyle{{\omega ^n} = {\omega ^{\lambda \cdot k + \upsilon }} = {\left( {{\omega ^k}} \right)^\lambda } \cdot {\omega ^\upsilon } = {\omega ^\upsilon } \ne 1}$ ( $\displaystyle{\omega }$ πρωταρχική ρίζα).

Τότε $\displaystyle{\sum\limits_{\nu = 0}^{k - 1} {{\omega ^{\nu \cdot n}}} = \sum\limits_{\nu = 0}^{k - 1} {{{\left( {{\omega ^n}} \right)}^\nu }} = \mathop = \limits_\big{{{\omega ^n} \ne 1}} = \frac{{{{\left( {{\omega ^n}} \right)}^k} - 1}}{{{\omega ^n} - 1}} = \frac{{{{\left( {{\omega ^k}} \right)}^n} - 1}}{{{\omega ^n} - 1}} = \frac{{1 - 1}}{{{\omega ^n} - 1}} = 0}$ .

Και τελικά $\displaystyle{\sum\limits_{\nu = 0}^{k - 1} {{\omega ^{\nu \cdot n}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k{\text{ }}{\text{, }}if{\text{ }}k:{\text{ }}divisor{\text{ }}of{\text{ }}n} \\ {0{\text{ }}{\text{, }}if{\text{ }}k:{\text{ }}not{\text{ }}divisor{\text{ }}of{\text{ }}n} \\ \end{array} } \right.}$

β) .... ακόμα ..

#3

Έστω $\omega$ μια πρωταρχική

-οστή ρίζα της μονάδος. Τότε

$\displaystyle{ \frac{1}{e^x} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{mk}}{(mk)!} = \frac{1}{ke^x} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{m!} \sum_{r=0}^{k-1} \omega^{rm} = \frac{1}{ke^x} \sum_{r=0}^{k-1} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(x\omega^r)^m}{m!} = \frac{1}{ke^x} \sum_{r=0}^{k-1} e^{x \omega^r} = \frac{1}{k}\sum_{r=0}^{k-1} e^{x (\omega^r -1)}}$

Όμως για κάθε $0 < r \leqslant k-1$ έχουμε ότι $\omega^r \neq 1$ και άρα $\displaystyle{ \Re(\omega^{r} - 1) < 0}$ . Άρα $\displaystyle{ \left| e^{x(\omega^r - 1)}\right| = e^{x \Re(\omega^{r} - 1) } \to 0}$ όταν $x \to \infty$ .

Άρα $\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} e^{x(\omega^r - 1)}\right = 0}$ και άρα $\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{1}{e^x} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{mk}}{(mk)!} = \frac{1}{k}}$

Nick1990 · #4

Το αποτέλεσμα του 1) χρησημοποιείτε συχνά σε δύσκολα προβλήματα άλγεβρας και συνδιαστικής σε Ολυμπιάδες. Λοιπον:
Θέτουμε $f(x) = e^x = \sum_{s=0}^{+\infty}{\frac{x^s}{s!}}$ και παρατηρούμε απο το 1) ότι η ποσότητα της οποίας το όριο ψάχνουμε είναι:
$A(x) = \frac{f(x) + f(wx) + f(w^2x) + ... + f(w^{p-1}x)}{ke^x}$ , όπου w = cos(a) + isin(a)

η προταρχική ρίζα
Με $f(w^sx) = e^{x(cos(sa) + isin(sa))} = e^{xcos(sa)}(cos(xsin(sa)) + isin(xsin(sa)))$
Επηδή η παράσταση είναι πραγματική, μπορούμε στο άθροισμα να αγνωήσουμε το φανταστικό μέρος, και θα πάρουμε:
$A(x) = \frac{\sum_{s=0}^{k-1}{e^{x(cos(sa)-1)}(cos(xsin(sa)))}}{k}$ Ο πρώτος όρος του παραπάνω αθροίσματος είναι ίσος με 1, ενώ οι άλλοι φράσονται από: $e^{mx}$ όπου m είναι αρνητικός, οπότε τίνουν στο 0.
Άρα το όριο είναι τελικά ίσος με: $\frac{1}{k}$
Επηδή όμως είναι αργά μπορεί να έχω χάσει κάτι.

Edit: απ ότι βλέπω με πρόλαβε ο Δημήτρης.

#5

Το εντυπωσιακό είναι ότι μπορούμε να πάρουμε κλειστό τύπο για το $\displaystyle{\sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{{{x^{m \cdot k}}}}{{\left( {m \cdot k} \right)!}}} }$ .. Μπράβο σας ... ανοίγονται όμορφοι ορίζοντες.

#6

Ευχαριστώ για το χρόνο σας!

Μια απόδειξη για το

υπάρχει εδω, σελ 89 του pdf, το 65.

Ένα όμορφο όριο (4)

Ένα όμορφο όριο (4)

Re: Ένα όμορφο όριο (4)

Re: Ένα όμορφο όριο (4)

Re: Ένα όμορφο όριο (4)

Re: Ένα όμορφο όριο (4)

Re: Ένα όμορφο όριο (4)

Μέλη σε σύνδεση