Μία παραλλαγή άσκησης από τήν Εθνική Ολυμπιάδα Ρουμανίας

grigorik · #1

ΑΣΚΗΣΗ: Έστωσαν μία συνάρτηση $h\,:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}$ και με τιμές σε όλο το $\mathbb{R}$ , γνησίως αύξουσα και συνεχής και οι συναρτήσεις

$h^{[\rm{n}]}(x)=\left\{{\begin{array}{*{20}c} {\underbrace{\left({h\circ{h}\circ\ldots\circ{h}}\right)}_{\rm{n}}(x)\hspace{0.1cm},\hspace{1.45cm}{\rm{n}}\in\mathbb{Z}^{+}}\hfill\vspace{0.1cm} \\ {x\hspace{0.1cm},\hspace{4.1cm}{\rm{n}}=0}\hfill\vspace{0.4cm} \\ {\underbrace{\left({h^{-1}\circ{h^{-1}}\circ\ldots\circ{h^{-1}}}\right)}_{\rm{n}}(x)\hspace{0.1cm},\hspace{0.2cm}{\rm{n}}\in\mathbb{Z}^{-}} \\ \end{array}}\right.$ , όπου $h^{-1}$ είναι η αντίστροφη συνάρτηση τής

.
Αν:
α) υπάρχει συνάρτηση $x\stackrel{c}{\longmapsto}{c(x)}$ , τέτοια ώστε, γιά κάθε ${\rm{n}}\in\mathbb{Z}$ , ισχύει $\left|{h^{[\rm{n+1}]}(x)-h^{[\rm{n}]}(x)}\right|=c(x)$ , $x\in\mathbb{R}$ καί
β) υπάρχει $x_0\in\mathbb{R}$ , τέτοιο ώστε h(x_0)=x_0

,

να αποδειχθεί ότι h(x)=x

, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

#2

ΛΥΣΗ:

Έστω x διάφορο του x0. Ας εξετάσουμε την περίπτωση
x < = x0. Η x >= x0 αντιμετωπίζεται όμοια. Για την h(x) συμβαίνει ένα από τα δύο:
είτε x < = h(x) είτε x > = h(x). Στην πρώτη περίπτωση, καθώς h αύξουσα, είναι
h(x) < = h^2 (x) < = h^2(x0) = h(x0) = x0 . Όμοια
h^2(x) < = h^3(x) = h^3(x0) = h^2(x0) = h(x0) = x0
και γενικά
h^(n-1)(x) <= h^n(x) <= h^n(x0) = h^(n-1)(x0) = ... = x0 (n ανήκει στο Ν).
Οπότε
α) η ακολουθία h^n(x) είναι αύξουσα και φραγμένη (από το x0)
β) η δοθείσα σχέση για n = 0, 1, 2, 3, ... γράφεται διαδοχικά (χωρίς απόλυτα)

h(x) - x = c(x) (*)
h^2(x) - h(x) = c(x)
.
.
.
h^n(x) - h^(n-1)(x) = c(x)

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε
[h^n(x) – x] /(n-1) = c(x).
και παίρνοντας όριο καθώς n τείνει στο άπειρο, είναι

0 = c(x)
οπότε η (*) δίνει h(x) = x, όπως θέλαμε να δείξουμε.

H περίπτωση x > = h(x) αντιμετωπίζεται όμοια αλλά με χρήση της h^(-1).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

#3

2η ΛΥΣΗ: Οί συναρτήσεις $h^{[\rm{n}]}$ , ${\rm{n}}\in\mathbb{Z}$ , είναι ορισμένες σέ όλο τό $\mathbb{R}$ καί μέ τιμές σέ όλο τό $\mathbb{R}$ , συνεχείς καί γνησίως αύξουσες.

α) Άν γιά κάθε $x\in\mathbb{R}$ , ισχύει c(x)=0

, τότε

.

β) Έστω ότι υπάρχει $\alpha\in\mathbb{R}$ , τέτοιο ώστε $c(\alpha)>0$ καί χωρίς βλάβη τής γενικότητας $\alpha<h(\alpha)$ ( η περίπτωση $h(\alpha)<\alpha$ αντιμετωπίζεται ανάλογα ). Τότε γιά κάθε ${\rm{n}}\in\mathbb{Z}$ , ισχύει $h^{[\rm{n}]}(\alpha)<h^{[\rm{n}+1]}(\alpha)$ .

Γιά τά διαστήματα $\left[{h^{[\rm{n}]}(\alpha),\,h^{[\rm{n}+1]}(\alpha)}\right]$ , ${\rm{n}}\in\mathbb{Z}$ , ισχύουν:
$\left|{h^{[\rm{n}+1]}(\alpha)-h^{[\rm{n}]}(\alpha)}\right|=c(\alpha)>0$ - καί γι' αυτό $h(x_0)=x_0\in\mathop{\bigcup}\limits_{{\rm{n}}\in\mathbb{Z}}\left[{h^{[\rm{n}]}(\alpha),\,h^{[\rm{n}+1]}(\alpha)}\right]$ καί $\mathop{\bigcap}\limits_{{\rm{n}}\in\mathbb{Z}}\left({h^{[\rm{n}]}(\alpha),\,h^{[\rm{n}+1]}(\alpha)}\right)=\varnothing$ .

Επίσης γιά τό σταθερό σημείο x_0=h(x_0)

ισχύει $h^{[\rm{n}]}(\alpha)\neq{x_0}$ , γιά κάθε ${\rm{n}}\in\mathbb{Z}$ .

Τότε υπάρχει ${\rm{k}}\in\mathbb{Z}$ , τέτοιο ώστε $x_0\in\left({h^{[\rm{k}]}(\alpha),\,h^{[\rm{k}+1]}(\alpha)}\right)$ (1).

Αλλά $h\left({\left({h^{[\rm{k}]}(\alpha),\,h^{[\rm{k}+1]}(\alpha)}\right)}\right)=\left({h^{[\rm{k+1}]}(\alpha),\,h^{[\rm{k}+2]}(\alpha)}\right)$ καί $x_0=h(x_0)\in\left({h^{[\rm{k}+1]}(\alpha),\,h^{[\rm{k}+2]}(\alpha)}\right)$ (2).

Από τίς (1) καί (2) προκύπτει $x_0\in\left({h^{[\rm{k}]}(\alpha),\,h^{[\rm{k}+1]}(\alpha)}\right)\bigcap\left({h^{[\rm{k}+1]}(\alpha),\,h^{[\rm{k}+2]}(\alpha)}\right)=\varnothing$ .
Άτοπο. Άρα h(x)=x

, γιά κάθε $x\in\mathbb{R}$ . $\square$

#4

Γρηγόρη, πολύ ωραία η λύση σου.

Παρατηρώ από την λύση σου ότι το c(x) που υπάρχει στην εκφώνηση είναι “συνάρτηση c του x”. Το είχα εκλάβει ως “c επί x”, επειδή δεν αναφέρεις τίποτα σχετικό στην εκφώνηση. Για λόγους αρτιέπειας, η c(x) έπρεπε να αναφέρεται ως δεδομένο στην αρχή της άσκησης.

Ευτυχώς δεν αλλάζει τίποτα ουσιαστικό στην λύση μου. Ίσα - ίσα απλοποιείται απειροελάχιστα (δεν χρειάζεται η περίπτωση «x μη μηδενικό» στο πρώτο βήμα) .

Για λόγους ακρίβειας έκανα διόρθωση στο αρχικό κείμενο της λύσης μου. Τώρα διαβάζεται σωστά.

Φιλικά,

Μιχάλης. Λάμπρου.

Μία παραλλαγή άσκησης από τήν Εθνική Ολυμπιάδα Ρουμανίας

Μία παραλλαγή άσκησης από τήν Εθνική Ολυμπιάδα Ρουμανίας

Re: Μία παραλλαγή άσκησης από τήν Εθνική Ολυμπιάδα Ρουμανίας

Re: Μία παραλλαγή άσκησης από τήν Εθνική Ολυμπιάδα Ρουμανίας

Re: Μία παραλλαγή άσκησης από τήν Εθνική Ολυμπιάδα Ρουμανίας

Μέλη σε σύνδεση