Ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{-\infty}^\infty\binom{1}{t}^3\,\mathrm{d} t=\frac{3}{2}+\frac{6}{\pi^2}}$

ksofsa · #2

$\binom{1}{t}=\dfrac{\Gamma (2)}{\Gamma (1+t)\Gamma (2-t)}=\dfrac{1}{t\Gamma (t)(1-t)\Gamma (1-t)}=\dfrac{sin\pi t}{\pi t(1-t)}$

Οπότε, αρκεί:

$\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{x^3(1-x)^3}dx=\dfrac{3\pi ^3}{2}+6\pi$

$LHS=\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{x^3}dx +\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{(1-x)^3}dx+6\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{x}dx +6\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{1-x}dx +3\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{x^2}dx+3 \int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{(1-x)^2}dx =$

$\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{x^3}dx +\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi (1-x)}{(1-x)^3}dx+6\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{x}dx +6\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi (1-x)}{1-x}dx +3\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{x^2}dx+3 \int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi (1-x)}{(1-x)^2}dx =$

$2\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{x^3}dx +12\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{x}dx +6\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{x^2}dx =$

$\dfrac{3\pi ^3}{2}+3\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{3sin\pi x-sin3\pi x}{x}dx=\dfrac{3\pi ^3}{2}+3(3\pi -\pi )=\dfrac{3\pi ^3}{2}+6\pi .$

Χρησιμοποιήθηκαν τα γνωστά ολοκληρώματα $\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin^3\pi x}{x^3}dx=\dfrac{3\pi ^3}{4},\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{sin\pi x}{x}dx =\pi$ και ότι $\int_{-\infty }^{\infty } \dfrac{sin^3\pi x}{x^2}dx=0$ , επειδή είναι περιττή η ολοκληρωτέα συνάρτηση.

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση