Ένα ωραίο ολοκλήρωμα

panosgl2006 · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin(nx)}{n!}dx$

Σημείωση: Αυτή η άσκηση είναι από τον διαγωνισμό Berkeley Math Tournament του 2024

Tolaso J Kos · #2

panosgl2006 έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 11, 2025 1:42 pm
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin(nx)}{n!}dx$

Ξεκινάμε με την απλή παρατηρήση ότι

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x \sin nx}{x^2} \, \mathrm{d}x &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (n-1)x - \cos (n+1)x}{x^2} \, \mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} \int_{n-1}^{n+1} \sin xy \, \mathrm{d}y \, \, \mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{2} \int_{n-1}^{n+1} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin xy}{x} \, \mathrm{d}(x, y) \\ & = \frac{1}{2} \int_{n-1}^{n+1} \frac{\pi}{2} \, \mathrm{d}y \\ & = \frac{\pi}{2} \end{aligned}}$
Άρα,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n!} \, \mathrm{d}x & = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x \sin nx}{x^2} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{\pi}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \\ & = \frac{\pi}{2} \left( e -1 \right) \end{aligned}}$

Ένα ωραίο ολοκλήρωμα

Ένα ωραίο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ωραίο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση