Κλειστότητα συνόλου συναρτήσεων

#1

Δείξτε ότι το σύνολο $\displaystyle{\mathcal L:=\Big\{f(x)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_{i,j}x^i\ln^j x:a_{i,j}\in\mathbb R,\,\,n,m\in\mathbb N\Big\}}$ είναι κλειστό ως προς τις αρχικές.

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 15, 2011 8:48 pm
Δείξτε ότι το σύνολο $\displaystyle{\mathcal L:=\Big\{f(x)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_{i,j}x^i\ln^j x:a_{i,j}\in\mathbb R,\,\,n,m\in\mathbb N\Big\}}$ είναι κλειστό ως προς τις αρχικές.

H άσκηση αναρτήθηκε πριν από

χρόνια, οπότε μάλλον δεν θα πάρω απάντηση στις δύο ερωτήσεις μου:

α) Δεν ξέρω τι εννοούμε όταν λέμε "αρχικές".

β) Έχω ένσταση στην διατύποωση. Όπως φαίνεται τώρα, δεδομένου ότι κάθε f(x)

είναι πραγματικός αριθμός, το $\mathcal L$ είναι σύνολο πραγματικών αριθμών. Όπως μάλλον ο θεμaτοθέτης εννοεί σύνολο συναρτήσεων, δηλαδή έπρεπε να γράφει

και όχι

. Με άλλα λόγια, άλλο πράγμα είναι η συνάρτηση, και άλλο η τιμή της. Στην Συναρτησιακή Ανάλυση ΠΟΤΕ δεν γράφουμε f(x)

όταν εννοούμε

. Η διαφορά δεν είναι μία απλή λεπτομέρεια, αλλά ουσιώδης.

BAGGP93 · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 05, 2025 9:46 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 15, 2011 8:48 pm
Δείξτε ότι το σύνολο $\displaystyle{\mathcal L:=\Big\{f(x)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_{i,j}x^i\ln^j x:a_{i,j}\in\mathbb R,\,\,n,m\in\mathbb N\Big\}}$ είναι κλειστό ως προς τις αρχικές.
H άσκηση αναρτήθηκε πριν από χρόνια, οπότε μάλλον δεν θα πάρω απάντηση στις δύο ερωτήσεις μου:

α) Δεν ξέρω τι εννοούμε όταν λέμε "αρχικές".

β) Έχω ένσταση στην διατύποωση. Όπως φαίνεται τώρα, δεδομένου ότι κάθε είναι πραγματικός αριθμός, το $\mathcal L$ είναι σύνολο πραγματικών αριθμών. Όπως μάλλον ο θεμaτοθέτης εννοεί σύνολο συναρτήσεων, δηλαδή έπρεπε να γράφει και όχι . Με άλλα λόγια, άλλο πράγμα είναι η συνάρτηση, και άλλο η τιμή της. Στην Συναρτησιακή Ανάλυση ΠΟΤΕ δεν γράφουμε όταν εννοούμε . Η διαφορά δεν είναι μία απλή λεπτομέρεια, αλλά ουσιώδης.

Καλησπέρα κ. Λάμπρου, προφανώς ο Αναστάσης εννοεί το σύνολο όλων των συναρτήσεων $f\colon \left(0,+\infty\right)\to \mathbb{R}$ της μορφής $\displaystyle{f(x)=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{i,j}x^i\,\ln^j x}$ όπου $a_{i,j}\in\mathbb{R}$ και $n,\,m\in\mathbb{N}.$

Το κλειστές ως προς τις αρχικές σημαίνει "αν $f\in \mathcal{L}$ και $F\colon\left(0,+\infty\right)\to \mathbb{R}$ αρχική της

, τότε $F\in\mathcal{L}.$

#5

BAGGP93 έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 05, 2025 10:09 pm

Το κλειστές ως προς τις αρχικές σημαίνει "αν $f\in \mathcal{L}$ και $F\colon\left(0,+\infty\right)\to \mathbb{R}$ αρχική της , τότε $F\in\mathcal{L}.$

Ωραία. Ευχαριστώ. Τώρα η άσκηση είναι απλή γιατί, όπως θα δούμε, αν $f_{m,n}$ η συνάρτηση με $f_{m,n} (x) = x^m \ln ^n(x)$ τότε μία αρχική της είναι γραμμικός συνδυασμός των $f_{m+1,n}, \, f_{m+1,n-1},\, ... \, , f_{m+1,0}$ . Πράγματι, με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε

$\displaystyle{ \int x^m \ln ^n(x) dx = \dfrac {x^{m+1}}{m+1} \ln ^n(x) - \dfrac {n}{m+1}\int x^{m} \ln ^{n-1}(x) dx}$ .

Από αυτό έπεται, επαγωγικά, το ζητούμενο.

Aν από περιέργεια θέλουμε να δούμε ένα συγκεκριμένο αριθμητικό παράδειγμα, έχουμε π.χ.

$\displaystyle{ \int x^2 \ln ^3(x) dx= \dfrac {1}{3} x^3\ln ^3(x) -\dfrac {1}{3} x^3\ln ^2 (x)+ \dfrac {2}{9}x^3\ln(x)- \dfrac {2}{27}x^3 +c}$

Κλειστότητα συνόλου συναρτήσεων

Κλειστότητα συνόλου συναρτήσεων

Re: Κλειστότητα συνόλου συναρτήσεων

Re: Κλειστότητα συνόλου συναρτήσεων

Re: Κλειστότητα συνόλου συναρτήσεων

Re: Κλειστότητα συνόλου συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση