Μονοτονία λύσεων αὐτονόμων ἐξισώσεων

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R\to\mathbb R$ συνεχής. Δείξατε ὅτι κάθε λύση τῆς ἐξισώσεως εἶναι μονότονη.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Ἂν ἡ

εἶναι τοπικὰ συνεχὴς Lipschitz (γενικότερα, ἂν πληροῦνται συνθῆκες ἐξασφαλίζουσες μοναδικότητα) τότε ἡ ἀπόδειξη εἶναι σχετικῶς ἁπλή, καὶ λαμβάνομε κάτι ἰσχυρότερο: Ὅτι ἡ λύση εἶναι εἴτε γνησίως μονότονη εἴτε σταθερή.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Παραθέτω λύση μετὰ ἀπὸ σχεδὸν 8 χρόνια!

Ἔστω ὅτι ἡ συνἀρτηση $f: J\to\mathbb R$ εἶναι συνεχής, ὅπου ἀνοικτὸ διάστημα, καὶ ἔστω $\varphi : I\to\mathbb R,$ λύση τῆς ἐξισώσεως ὅπου ἀνοικτὸ διάστημα. Νὰ ἀποδειχθεῖ ὅτι ἡ $\varphi$ εἶναι μονότονη.

Ἀπόδειξη. Ἂν ἡ $\varphi$ δὲν εἶναι μονότονη, τότε θὰ ὑπάρχουν $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4\in I$ , μὲ $\sigma_1<\sigma_2$ καὶ $\sigma_3<\sigma_4,$ ὥστε

$\displaystyle{ \varphi(\sigma_1)<\varphi(\sigma_2) \quad\& \quad \varphi(\sigma_3)>\varphi(\sigma_4). }$

Χάριν τοῦ Θεωρήματος τῆς Μέσης, ὑπάρχουν $\tau_1\in (\sigma_1,\sigma_2)$ καὶ $\tau_2\in (\sigma_3,\sigma_4),$ ὥστε

$\displaystyle{ \varphi'(\tau_1)=\frac{\varphi(\sigma_2)-\varphi(\sigma_1)}{\sigma_2-\sigma_1}>0 \qquad \& \qquad \varphi'(\tau_2) =\frac{\varphi(\sigma_4)-\varphi(\sigma_3)}{\sigma_4-\sigma_3}<0. }$

Ὑποθέτομε ὅτι $\,\tau_1<\tau_2$ . (Ἡ περίπτωση ὅπου $\tau_1>\tau_2$ ἀντιμετωπίζεται παρομοίως.) Τότε, καθὼς $\varphi'(\tau_1)>0$ καὶ $\varphi'(\tau_2)<0,\,$ ὑπάρχουν $\delta_1,\delta_2>0$ , ὥστε

$\displaystyle{ \varphi(t)>\varphi(\tau_1), }$

διὰ κάθε $t\in (\tau_1,\tau_1+\delta_1),$ καὶ

$\displaystyle{ \varphi(t)>\varphi(\tau_2), }$

διὰ κάθε $t\in (\tau_2-\delta_2,\tau_2).$ Ὡς ἐκ τούτου

$\displaystyle{ \max\big\{\varphi(\tau_1),\, \varphi(\tau_2)\big\} < \max_{t\in [\tau_1,\tau_2]}\varphi(t), }$

καὶ ἔστω $\eta\in (\tau_1,\tau_2)$ , ὥστε

$\displaystyle{ \varphi(\eta)= \max_{t\in [\tau_1,\tau_2]}\varphi(t)=\xi. }$

Ἔστω ἐπίσης ὅτι $\,\varphi(\tau_1)\ge\varphi(\tau_2)$ . (Ἡ περίπτωση $\,\varphi(\tau_1)<\varphi(\tau_2)$ ἀντιμετωπίζεται παρομοίως.) Χάριν τοῦ Θεωρήματος τῆς Ἐνδιαμέσου Τιμῆς ὑπάρχει $\tau_2'\in (\eta,\tau_2],$ ὥστε $\varphi(\tau_2')=\varphi(\tau_1).$ Ὁρίζομε

$\displaystyle{ s_2=\min\big\{t\in [\eta,\tau_2']: \varphi(t)=\varphi(\tau_1)\big\}. }$

Τέτοιο s_2

ὑπάρχει στὸ διάστημα $[\eta,\tau_2']$ , χάριν τῆς συνεχείας τῆς $\varphi$ , καὶ $s_2>\eta$ . (Γιατί;) Ἰδιαιτέρως, ἔχομε ὅτι

$\displaystyle{ \varphi(t)>\varphi(s_2), }$

διὰ κάθε $\,t\in[\eta,s_2)$ , καὶ ἄρα

$\displaystyle{ \varphi'(s_2)=\lim_{h\to 0^+}\frac{\varphi(s_2)-\varphi(s_2-h)}{h}\le 0. }$

Αὐτὸ ὁδηγεῖ σὲ ἄτοπο καθὼς

$\displaystyle{ \varphi'(s_2)=f\big(\varphi(s_2)\big)=f\big(\varphi(\tau_1)\big)=\varphi'(\tau_1)>0. \qquad\qquad\eqno{\Box} }$

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Edit: ετοίμασα αυτή τη λύση χθες το βράδυ, την άφησα για έναν τελικό έλεγχο τώρα το πρωί, θεωρώντας ότι έχω χρόνο αφού είναι 8 χρόνια άλυτη για να δω ότι ο θεματοδότης με πρόλαβε! Πήγα να τη διαγράψω σκεπτόμενος ότι είναι άκομψο εκ μέρους μου (φοβούμενος ότι δεν προσφέρει κάτι διαφορετικό), αλλά λυπήθηκα τον κόπο.

Θεωρούμε μια λύση της $x^\prime=f(x)$ έστω $x\colon I\to\mathbb{R}$ όπου

είναι ένα διάστημα του $\mathbb{R}$

Ας υποθέσουμε αντίθετα από το ζητούμενο, ότι η δεν είναι μονότονη.
Αυτό θα σημαίνει ότι υπάρχουν t_1 < t_o < t_2

σημεία του

τέτοια ώστε (χωρίς περιορισμό της γενικότητας) x(t_1) < x(t_o)

και

Από το θεώρημα μεγίστης και ελαχίστης τιμής μπορούμε να θεωρήσουμε
ότι t_o

είναι μια θέση ολικού μεγίστου για τη

στο διάστημα [t_1,t_2]

ενώ λαμβάνοντας υπ' όψιν το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών μπορούμε να θεωρήσουμε χωρίς περιορισμό της γενικότητας ότι x(t_1)=x(t_2)

Επίσης θεωρώντας τα $\sup \{t \in [t_1,t_o) | x(t) = x(t_1) \}$ και $\inf \{ t \in (t_o,t_2] | x(t) = x(t_2) \}$ μπορούμε να υποθέσουμε ότι
για κάθε $t\in(t_1,t_o)$ είναι x(t_1) < x(t) < x(t_o)

και
για κάθε $t \in (t_o, t_2)$ είναι x(t_o) > x(t) > x(t_2)

Εφαρμόζοντας ΘΜΤ στο [t_1,t_o]

βρίσκουμε ότι υπάρχει $\xi_1\in(t_1,t_o)$ τέτοιο ώστε $x^\prime(\xi_1)>0$

Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών το σύνολο $A = \{ s \in (t_o,t_2) | x(s) = x( \xi_1 ) \}$ είναι μη κενό οπότε
θέτουμε $\xi_* = \inf A$ και επειδή η

είναι συνεχής λαμβάνουμε $x( \xi_* ) = x( \xi_1 )$ ενώ $t_o < \xi_*$
οπότε $f(x( \xi_* )) = f(x( \xi_1 ))$ και επομένως $x^\prime( \xi_* ) = x^\prime( \xi_1 )>0$

Από την άλλη όμως $x(t)>x(\xi_*)$ για κάθε $t\in[t_o,\xi_*)$ οπότε $\dfrac{x(t)-x(\xi_*)}{t-\xi_*} < 0$ για κάθε $t<\xi_*$
Από τον ορισμό της παραγώγου και τις ιδιότητες των ορίων λαμβάνοντας όριο $t\to\xi_*^{-}$ βρίσκουμε $x^\prime(\xi_*) \le 0$ άτοπο

Μονοτονία λύσεων αὐτονόμων ἐξισώσεων

Μονοτονία λύσεων αὐτονόμων ἐξισώσεων

Re: Μονοτονία λύσεων αὐτονόμων ἐξισώσεων

Re: Μονοτονία λύσεων αὐτονόμων ἐξισώσεων

Μέλη σε σύνδεση