Δύο λύσεις της ίδιας ΣΔΕ

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Πρόβλημα. Ἔστω ὅτι οἱ συναρτήσεις $\varphi,\psi : \mathbb R\to\mathbb R,$ ἀποτελοῦν λύσεις τῆς διαφορικῆς ἐξισώσεως ὅπου $f:\mathbb R\to\mathbb R,$ συνεχὴς καὶ $f(x)\ne 0,$ διὰ κάθε $x\in\mathbb R$ . Δείξατε ὅτι ὑπάρχει $\tau\in\mathbb R,$ ὥστε

$\displaystyle{ \psi(t)=\varphi(t-\tau), }$

διὰ κάθε $t\in\mathbb R$ .

#2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 13, 2025 3:08 pm
Πρόβλημα. Ἔστω ὅτι οἱ συναρτήσεις $\varphi,\psi : \mathbb R\to\mathbb R,$ ἀποτελοῦν λύσεις τῆς διαφορικῆς ἐξισώσεως ὅπου $f:\mathbb R\to\mathbb R,$ συνεχὴς καὶ $f(x)\ne 0,$ διὰ κάθε $x\in\mathbb R$ . Δείξατε ὅτι ὑπάρχει $\tau\in\mathbb R,$ ὥστε

$\displaystyle{ \psi(t)=\varphi(t-\tau), }$

διὰ κάθε $t\in\mathbb R$ .

.
Αφού η

δεν μηδεχίζεται, διατηρεί το πρόσημό της. Χωρίς βλάβη f(x) >0

για κάθε

. Η συνάρτηση τότε

$\displaystyle{F(X) = \int _0^X \dfrac {1}{f(x)} dx}$ είναι γνήσια αύξουσα και άρα αντιστρέψιμη.

Η διαφορική εξίσωση γράφεται $\displaystyle{\dfrac {1}{f(x)} \dfrac {dx}{dt} =1}$ . Ολοκληρώνοντας από t=0

έως

έχουμε

$\displaystyle{ \int _{t=0}^{t=T} \dfrac {1}{f(x)} dx= T}$ , δηλαδή $\displaystyle{F(x(T)) - F(x(0))= T}$ , οπότε για κάποιο

είναι

$\displaystyle{F(x(T))= T+c}$ , ισοδύναμα (αλλάζω το

σε

) έχουμε $\displaystyle{\boxed {x(t)=F ^{-1} (t+c)}$ . Αυτό μας δίνει τύπο για όλες της λύσεις της Διαφορικής. Ειδικά για δύο λύσεις $\psi , \, \phi$ , είναι

$\phi (t) =F ^{-1} (t+c) , \, \psi (t) =F ^{-1} (t+c')$ και άρα

$\psi (t) = \phi (t+c'-c)$ , όπως θέλαμε.

Γιώργο, χαιρετίσματα στους φίλους στην Μεγαλόνησο.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Χαιρετίσματα στην Κρήτη.

Δύο λύσεις της ίδιας ΣΔΕ

Δύο λύσεις της ίδιας ΣΔΕ

Re: Δύο λύσεις της ίδιας ΣΔΕ

Re: Δύο λύσεις της ίδιας ΣΔΕ

Μέλη σε σύνδεση