Ανίσωση

#1

Να αποδειχθεί, για $x\in({2,+\infty})$ , ότι

$({x-1})\,{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}-({x-2})\,{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}<{\rm{e}}$ .

Σημείωση: Είναι εφικτή η απόδειξη με ύλη του Λυκείου.

#2

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 31, 2024 12:40 am
Να αποδειχθεί, για $x\in({2,+\infty})$ , ότι

$({x-1})\,{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}-({x-2})\,{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}<{\rm{e}}$ .

Θέλουμε να δείξουμε ${\rm{e}}+({x-2})\,{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}-({x-1})\,{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}>0$ στο $({2,+\infty})$ .

Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $x=\dfrac {1}{y}$ οπότε μελετάμε την συνάρτηση στο $(0, \frac {1}{2})$ . H νέα της μορφή είναι

$e+ \left (\dfrac {1}{y} -2 \right )e^y -\left (\dfrac {1}{y} -1\right )e^{2y}>0$

Και πολλαπλασιάζοντας επί

αναγώμαστε ισοδύναμα στην

$f(y) = ye+ \left (1 -2y \right )e^y -\left (1 -y\right )e^{2y}>0$ στο $(0, \frac {1}{2})$ .

Έχουμε

$f'(y) = e+(-1-2y)e^y+(-1+2y)e^{2y}$ και

$f''(y) =(-2y-3) e^y+4ye^{2y} \le (-2y-3)e^y + 4\cdot \dfrac {1}{2} e^{2y}= (-2y -3+2e^y) e^{y} \,(*)$

Για την δεύτερη στο εν λόγω διάστημα ο παράγοντας της

είναι

διότι έχει παράγωγο $-2 +2e^y \ge -2+2=0$ , οπότε είναι αύξουσα και άρα έχει τιμές $\le$ από την τιμή της στο 1/2

που είναι $-1-3+2e^{1/2}< -4+2\sqrt 4=0$ . Έπεται από την (*)

ότι $\boxed {f'' (y) <0}$ στο εν λόγω διάστημα.

Άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα. Όμως f'(0)= e-2>0

και $f'(1/2)= e-2\sqrt e <0$ . Έπεται ότι η

μηδενίζεται σε κάποιο μοναδικό

στο διάστημα $(0, \frac {1}{2})$ .

Συμπεραίνουμε ότι η

είναι γνήσια αύξουσα στο (0,a]

και γνήσια φθίνουσα στο $[a, \frac {1}{2})$ .

Όμως f(0)=0=f(1/2)

(άμεσο από τον τύπο της)μ όποτε στις ενδιάμεσες τιμές είναι f(y)>0

. Aλλά αυτό είναι το αποδεικτέο, και τελειώσαμε.

Αποδεικύεται ακόμη, από το έτοιμο υλiκό παραπάνω, ότι η ανισότητα για την

είναι με ανάποδη φορά στο διάστημα (1/2,1)

και με την ίδια φορά στο $(1, +\infty)$

#3

Μια διαφορετική προσέγγιση:

Για $x\in({2,+\infty})$ :

$\begin{aligned} ({x-1})\,{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}-({x-2})\,{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}&<{\rm{e}}&&\stackrel{x>2}{\Longleftrightarrow}\nonumber\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \frac{\cancel{({x-1})}\,{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}}{\cancel{({x-1})}({x-2})}-\frac{\cancel{({x-2})}\,{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}}{({x-1})\cancel{({x-2})}}&<\frac{{\rm{e}}}{({x-1})({x-2})}&&\Longleftrightarrow\nonumber\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \frac{{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}}{x-2}-\frac{{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}}{x-1}&<\frac{{\rm{e}}}{x-2}-\frac{{\rm{e}}}{x-1}&&\Longleftrightarrow\nonumber\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \frac{{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}-{\rm{e}}}{x-2}-\frac{{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}-{\rm{e}}}{x-1}&<0\,.\qquad (1) \end{aligned}$

Από το Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση $f(y)=\frac{{\rm{e}}^{\frac{y}{x}}-{\rm{e}}}{x-y}$ στο [{1,2}]

, υπάρχει $\rho\in({1,2})$ , τέτοιο ώστε

$\begin{aligned} f'({\rho})& =\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}\qquad\Longleftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \dfrac{({2x-\rho})\,{\rm{e}}^{\frac {\rho}{x}}-x\,{\rm{e}}}{x\,({x-\rho})^2}&=\frac{{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}-{\rm{e}}}{x-2}-\frac{{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}-{\rm{e}}}{x-1}\,. \end{aligned}$

Επομένως για να ισχύει η (1)

αρκεί, για $\rho\in({1,2})$ , $x\in({2,+\infty})$ , να ισχύει

$\begin{aligned} \dfrac{({2x-\rho})\,{\rm{e}}^{\frac {\rho}{x}}-x\,{\rm{e}}}{x\,({x-\rho})^2}<0\quad\Longleftrightarrow\quad ({2x-\rho})\,{\rm{e}}^{\frac {\rho}{x}}-x\,{\rm{e}}<0\,.\qquad(2) \end{aligned}$

Επειδή για $\rho\in({1,2})$ , $x\in({2,+\infty})$ , ισχύει $({2x-\rho})\,{\rm{e}}^{\frac {\rho}{x}}<({2x-2})\,{\rm{e}}^{\frac {2}{x}}$ , για να ισχύει η (2)

αρκεί να ισχύει

$\begin{aligned} ({2x-2})\,{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}-x\,{\rm{e}}&<0&&\Longleftrightarrow\nonumber\\\noalign{\vspace{0.2cm}} ({2x-2})\,{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}&<x\,{\rm{e}}&&\stackrel{\log\uparrow}{\Leftarrow\!\Longrightarrow}\nonumber\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \log\big({({2x-2})\,{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}}\big)&<\log({x\,{\rm{e}}})&&\Longleftrightarrow\nonumber\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \log({x-1})-\log{x}+\frac{2}{x}+\log{2}-1&<0\,.\qquad(3) \end{aligned}$

Η συνάρτηση $h(x)=\log({x-1})-\log{x}+\frac{2}{x}+\log{2}-1$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $[{2,+\infty})$ , αφού $h'(x)=\frac{2-x}{x^2(x-1)}<0$ , για $x\in({2,+\infty})$ . Άρα για $x\in({2,+\infty})$ ισχύει h(x)<h(2)=0

και, συνεπώς, ισχύει η (3)

.

#4

Αρκεί να δειχθεί ότι φθίνει, για x>2,

το αριστερό σκέλος, αρκεί δηλαδή να δειχθεί (μέσω παραγώγισης) η

$\dfrac{e^{1/x}}{x^2}\left[(x^2 - 2x+2)e^{1 /x} - (x^2 - x+2)\right]<0,$

η οποία είναι άμεση, για x>2

πάντοτε, από την

$\left(\dfrac{x^2 - 2x+2}{x^2 - x+2}\right)^x<\left(1-\dfrac{1}{x} \right)^x<\dfrac{1}{e}.$

abgd · #5

Λήμμα.
Έστω συνάρτηση

παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα $\Delta$ .

Αν $a,b,c \in \Delta$ με a<b<c

τότε: $\boxed{\dfrac{f(b)-f(c)}{b-c}>\dfrac{f(a)-f(c)}{a-c}}$

Απόδειξη.

Έστω η συνάρτηση

με

$g(x)=\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}, \ \ x<c$

Είναι

$g'(x)=\dfrac{f'(x)(x-c)-f(x)+f(c)}{(x-c)^2}=\dfrac{f'(x)(x-c)-(x-c)f'(x_0)}{(x-c)^2}=\dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{(x-c)}, \ \ x<c$ ,

όπου x_0

το σημείο του (x,c)

για το οποίο, από το Θ.Μ.Τ., ισχύει $f'(x_0)=\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}$ .

Αφού η

γνησίως αύξουσα, g'(x)>0

Έτσι, η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα οπότε έχουμε το ζητούμενο.
.
.
.

grigkost έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 01, 2025 11:58 am
Μια διαφορετική προσέγγιση:

Για $x\in({2,+\infty})$ :

$\begin{aligned} ({x-1})\,{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}-({x-2})\,{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}&<{\rm{e}}&&\stackrel{x>2}{\Longleftrightarrow}\nonumber\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \frac{\cancel{({x-1})}\,{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}}{\cancel{({x-1})}({x-2})}-\frac{\cancel{({x-2})}\,{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}}{({x-1})\cancel{({x-2})}}&<\frac{{\rm{e}}}{({x-1})({x-2})}&&\Longleftrightarrow\nonumber\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \frac{{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}}{x-2}-\frac{{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}}{x-1}&<\frac{{\rm{e}}}{x-2}-\frac{{\rm{e}}}{x-1}&&\Longleftrightarrow\nonumber\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \frac{{\rm{e}}^{\frac{2}{x}}-{\rm{e}}}{x-2}-\frac{{\rm{e}}^{\frac{1}{x}}-{\rm{e}}}{x-1}&<0\,.\qquad (1) \end{aligned}$

Διαιρώντας τους παρονομαστές στην ανισότητα (1)

με

έχουμε:

$\boxed{\dfrac{e^{\frac{2}{x}}-e}{\frac{2}{x}-1}>\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-e}{\frac{1}{x}-1}}$

Η ανισότητα αυτή είναι άμεση συνέπεια του παραπάνω λήμματος για την κυρτή συνάρτηση f(x)=e^x

και $a=\dfrac{1}{x}, b=\dfrac{2}{x}, c=1$

Ανίσωση

Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση